2021-2022年度第三届全国大学生算法设计与编程挑战赛（秋季赛）- 占座位（最小割）

题目大意：给出一个 n∗mn*mn∗m 的矩阵，每个格子都有两个权值 aaa 和 bbb，分别代表花费和收益。一个格子被占，当且仅当：

格子上有人
格子的上下左右都有人

格子被占可以获得收益 bbb，格子上有人需要花费 aaa，问如何分配可以使得收益最高。

题目分析：很经典，但我不会的一个模型。

拆点最小割，首先棋盘问题不难想到奇偶拆点，在此基础上将每个点再拆一下用来维护 bbb，再加点无穷大的边用来调和 aaa：

上图中 x1x_1x1 和 x2x_2x2 是奇数点的入点和出点， y1y_1y1 和 y2y_2y2 是偶数点的入点和出点。

那么此时最小割就只有三种情况：

割掉 st−x1st-x_1st−x1：选择点 xxx
割掉 y2−edy_2-edy2−ed：选择点 yyy
割掉 x1−x2x_1-x_2x1−x2 和 y1−y2y_1-y_2y1−y2：两个点都不选

不难看出，上述三种情况实质上对应着本题的两个条件，也就是对于某个点，获得 bbb 时的两种情况：

割掉某个点本身的 aaa
割掉某个点四周的 aaa

所以最后用 ∑b\sum b∑b 减去最小割就是最大的答案了。

代码：

// #pragma GCC optimize(2)
// #pragma GCC optimize("Ofast","inline","-ffast-math")
// #pragma GCC target("avx,sse2,sse3,sse4,mmx")
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<ctime>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<stack>
#include<climits>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<sstream>
#include<cassert>
#include<bitset>
#include<list>
#include<unordered_map>
#define lowbit(x) (x&-x)
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef unsigned long long ull;
template<typename T>
inline void read(T &x)
{T f=1;x=0;char ch=getchar();while(0==isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}while(0!=isdigit(ch)) x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0',ch=getchar();x*=f;
}
template<typename T>
inline void write(T x)
{if(x<0){x=~(x-1);putchar('-');}if(x>9)write(x/10);putchar(x%10+'0');
}
const int inf=0x3f3f3f3f;
const int N=4100;
template<typename T>
struct Dinic
{const static int N=4100;const static int M=N*N;const T inf=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;struct Edge{int to,next;T w;}edge[M];//边数int head[N],cnt;void addedge(int u,int v,T w){edge[cnt].to=v;edge[cnt].w=w;edge[cnt].next=head[u];head[u]=cnt++;edge[cnt].to=u;edge[cnt].w=0;//反向边边权设置为0edge[cnt].next=head[v];head[v]=cnt++;}int d[N],now[N];//深度 当前弧优化bool bfs(int s,int t)//寻找增广路{memset(d,0,sizeof(d));queue<int>q;q.push(s);now[s]=head[s];d[s]=1;while(!q.empty()){int u=q.front();q.pop();for(int i=head[u];i!=-1;i=edge[i].next){int v=edge[i].to;T w=edge[i].w;if(d[v])continue;if(!w)continue;d[v]=d[u]+1;now[v]=head[v];q.push(v);if(v==t)return true;}}return false;}T dinic(int x,int t,T flow)//更新答案{if(x==t)return flow;T rest=flow,i;for(i=now[x];i!=-1&&rest;i=edge[i].next){int v=edge[i].to;T w=edge[i].w;if(w&&d[v]==d[x]+1){T k=dinic(v,t,min(rest,w));if(!k)d[v]=0;edge[i].w-=k;edge[i^1].w+=k;rest-=k;}}now[x]=i;return flow-rest;}void init(){memset(now,0,sizeof(now));memset(head,-1,sizeof(head));cnt=0;}T solve(int st,int ed){T ans=0,flow;while(bfs(st,ed))while(flow=dinic(st,ed,inf))ans+=flow;return ans;}
};
Dinic<int>t;
const int b[4][2]={0,1,0,-1,1,0,-1,0};
int id[50][50][2],tot;
int main()
{#ifndef ONLINE_JUDGE
//  freopen("data.in.txt","r",stdin);
//  freopen("data.out.txt","w",stdout);
#endif
//  ios::sync_with_stdio(false);t.init();int n,m,st=N-1,ed=st-1,sum=0;read(n),read(m);for(int i=1;i<=n;i++) {for(int j=1;j<=m;j++) {for(int k=0;k<2;k++) {id[i][j][k]=++tot;}}}for(int i=1;i<=n;i++) {for(int j=1;j<=m;j++) {int a;read(a);if((i+j)&1) t.addedge(st,id[i][j][0],a);else t.addedge(id[i][j][1],ed,a);}}for(int i=1;i<=n;i++) {for(int j=1;j<=m;j++) {int b;read(b);t.addedge(id[i][j][0],id[i][j][1],b);sum+=b;}}for(int x=1;x<=n;x++) {for(int y=1;y<=m;y++) {if((x+y)&1) {for(int k=0;k<4;k++) {int xx=x+b[k][0],yy=y+b[k][1];if(xx<=0||xx>n||yy<=0||yy>m) continue;for(int i=0;i<2;i++) t.addedge(id[x][y][i],id[xx][yy][i],inf);}}}}cout<<sum-t.solve(st,ed)<<endl;return 0;
}

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