最小生成树与最短路径的区别以及实现方法
一、区别
最小生成树能够保证整个拓扑图的所有路径之和最小
,但不能保证任意两点之间是最短路径。
最短路径是从一点出发,到达目的地的路径最小
。
二、实现方法
- 最小生成树
最小生成树有两种算法来得到:Prims算法和Kruskal算法
。
Kruskal算法:
根据边的加权值以递增的方式,一次找出加权值最低的边来构建最小生成树,而且规定:每次添加的边不能造成生成树有回路,知道找到N-1个边为止。
Prims算法:
以每次加入一个的临界边来建立最小生成树,直到找到N-1个边为止。其规则为:以开始时生成树的集合(集合U)为起始的定点,然后找出与生成树集合邻接的边(集合V)中,加权值最小的边来建立生成树,为了确定新加入的边不会造成回路,所以每一个新加入的边,只允许有一个顶点在生成树集合中,重复执行此步骤,直到找到N-1个边为止。
- 最短路径(dijkstra算法、Floyd算法)
算法描述
(这里描述的是从节点1开始到各点的dijkstra算法,其中Wa->b表示a->b的边的权值,d(i)即为最短路径值)
1. 置集合S={2,3,…n}, 数组d(1)=0, d(i)=W1->i(1,i之间存在边) or +无穷大(1.i之间不存在边)
2. 在S中,令d(j)=min{d(i),i属于S},令S=S-{j},若S为空集则算法结束,否则转3
3. 对全部i属于S,如果存在边j->i,那么置d(i)=min{d(i), d(j)+Wj->i},转2
Dijkstra算法思想为:设G=(V,E)是一个带权有向图,把图中顶点集合V分成两组,第一组为已求出最短路径的顶点集合(用S表示,初始时S中只有一个源点,以后每求得一条最短路径 , 就将 加入到集合S中,直到全部顶点都加入到S中,算法就结束了),第二组为其余未确定最短路径的顶点集合(用U表示),按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。在加入的过程中,总保持从源点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点v到U中任何顶点的最短路径长度。此外,每个顶点对应一个距离,S中的顶点的距离就是从v到此顶点的最短路径长度,U中的顶点的距离,是从v到此顶点只包括S中的顶点为中间顶点的当前最短路径长度。
算法具体步骤
(1)初始时,S只包含源点,即S=,v的距离为0。U包含除v外的其他顶点,U中顶点u距离为边上的权(若v与u有边)或 ∞(若u不是v的出边邻接点)。
(2)从U中选取一个距离v最小的顶点k,把k,加入S中(该选定的距离就是v到k的最短路径长度)。
(3)以k为新考虑的中间点,修改U中各顶点的距离;若从源点v到顶点u(u U)的距离(经过顶点k)比原来距离(不经过顶点k)短,则修改顶点u的距离值,修改后的距离值为顶点k的距离加上边上的权。
(4)重复步骤(2)和(3)直到所有顶点都包含在S中。
复杂度分析
Dijkstra 算法的时间复杂度为O(n^2)
空间复杂度取决于存储方式,邻接矩阵为O(n^2)
原文链接:https://blog.csdn.net/yahohi/article/details/6989646
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