PTA 线性结构/AVL树/哈夫曼树错题

1.稀疏矩阵压缩存储后，必会失去随机存取功能。

解析：稀疏矩阵的存储方式是将数据压缩存储进一维数组，数组下标与之前的不相同了，想要某一元素需要根据公式计算它的下标，所以说是失去了随机存取的功能。

2.[2020真题]将一个10×10对称矩阵M的上三角部分的元素m [ i , j ]（1≤i≤j≤10）按列优先存入C语言的一维数组N中，元素m[ 7,2 ]在N中下标是（ C ）

A.15

B.16

C.22

D.23

解析：在正式分析这道题前，先简单说一下这个压缩存储的原理，具体看下图。

核心是算出在此元素前有多少个元素。

所以根据公式（注意按列优先，且上三角），算出在[ 7 , 2 ]前面已经有sum = （7-1）*（1 + （7-1））/ 2 = 21，第7列第2行 m元素前有1个元素（注意数组下标从1开始），所以m应该是：21 + 1 + 1 = 23个元素，因为C语言中数组下标从0开始，所以对应下标是22。

3.已知二维数组A[0..4][0..5]，则A按行优先存储时元素A[3][5]的地址与A按列优先存储时元素（）的地址相同。（ B ）

A.A[2][4]

B.A[3][4]

C.A[3][5]

D.A[4][3]

解析：读题知道，此矩阵（二维数组）下标从零开始，所以矩阵元素下标 0 <= i <= 4，0 <= j <= 5，也就是说这个矩阵每行有5个元素，每列6个元素。所以当A按行优先存储时，前面一共有：sum = 6 * 3 + 4 = 23，而A是第 23 + 1 = 24个元素。下标为23（数组下标默认从0开始）。

再来看选项（按列优先）；

A，此元素前有sum = 4 * 5 + 2 = 22，此元素是第22+1个，存储中下标是22。

B，此元素前有sum = 4 * 5 + 3 = 23，此元素是第23+1个，存储下标是23。

C，此元素前有sum = 5 * 5 + 3 = 28，此元素是个28+1个，存储下标为29。

D，此元素前有sum = 5 * 3 + 4 =19，此元素是第19+1个，存储下标19。

----------------------------------------------------------树-------------------------------------------------------------------

因为有英文题，补充几个单词：

inorder traversal ：先序遍历

perfect binary tree：完美二叉树 complete binary tree：完全二叉树

non-leaf / leaf：非叶 / 叶节点

iff：当且仅当

1.An AVL tree with the balance factors of all the non-leaf nodes being 0 must be a perfect binary tree.

解析：这道题中文意思是，如果一颗AVL树所有非叶节点的平衡因子都为0，那么这棵树一定是完美二叉树。

回答之前，先看一下完美二叉树定义：所有分支节点都存在左右子树，且所有叶节点都在同一层上。这句话什么意思呢，意思是所有节点度都为0，因为左右子树也都为满足同时有左右子树且叶节点在同一层上。所以这句话对的。

2.For an AVL tree, the balance factors of all the non-leaf nodes are 0 iff the tree is a complete binary tree.

解析：这道题中文意思是，一颗AVL树只有在所有非叶节点的平衡因子都为零时才是一颗完全二叉树。

这道题显然在考什么是完全二叉树，注意，和完美二叉树不同，完全二叉树叶节点可以出现在树的最下层和此下层，也就是说对于一颗完全二叉树来说，父节点的平衡因子可以是-1，所以这个“ iff ”就用的不对了。

3.In an AVL tree, it is possible to have this situation that the balance factors of a node and both of its children are all -1.

解析：这道题中文意思是，存在一颗AVL树的结点的左右孩子的平衡因子都是-1。

这个也很好理解了，就AVL树定义，结点的平衡因子集{ -1，0，1}，所以这种情况是可能存在的。

4.平衡二叉树中，若某个结点的左、右孩子的平衡因子为零，则该结点的平衡因子一定为零。

解析：这道题有点绕，来层层解析，首先对于一个结点，它的左右孩子的平衡因子为零，代表它的左孩子和右孩子的左右子树等高，但是没说左孩子子树的深度一定等于右孩子子树的深度，所以对于根节点来说，是不一定平衡因子相同的。

5.如果AVL树的深度为5（空树的深度定义为0），则此树最少有多少个结点？（ A ）

A.12

B.20

C.33

D.64

解析：这道题是一个考点，就是AVL树的最少结点。如何推导的可以去看mooc浙江大学数据结构，我直接给出一个规律 n = F(h+2) - 1；（F(h+2) 代表（层数+2）对应的斐波那契数），就是那个1 1 2 3 5 8....的斐波那契数。例如此题中说第5层，那么F(5+2) = F7 = 13，n = 13 - 1 = 12。

补充：对于给定结点数，生成的AVL树深度最多为log2n（2为底数）。

6.During inserting { 42, 26, 8, 70, 102, 56, 2} into an initially empty AVL tree, which of the following statements is true?（ A ）

A.The resulted AVL tree is also a completed binary tree;

B.There are 4 rotations: LL,RR,LR,LL

C.There are 4 rotations: LL,RR,LL,RL

D.There are 3 rotations: LL,RR,RL

解析：将{ 42, 26, 8, 70, 102, 56, 2}这几个数初始化为一颗AVL树，接下来是我画的插入流程图。

经历了三次旋转分别是LL，RR，LL，但结果是一颗完全二叉树（完美二叉树）。

7.If there are 14 nodes in an AVL tree, then the maximum depth of the tree is ____. The depth of an empty tree is defined to be 0.（ C ）

A.3

B.4

C.5

D.6

解析：这道题和前面第5题有点相似，注意题目说空树的深度定义为0就行了。

8.When generating Huffman codes for n distinct characters, if the corresponding Huffman tree has 115 nodes in total, then the value of n must be:（ C ）

A.56

B.57

C.58

D.60

解析：题目意思是，将 n 个不同的字符进行哈夫曼编码，如果最终这个哈夫曼编码树有115个结点，那么 n 的值应该是多少。

题意清晰了就很明了了，哈夫曼前缀码树本质还是一个哈夫曼树，哈夫曼树的结点个数为 2n - 1 ，也就是可以得出一个等式，2n - 1 = 115，求出n等于58。

9.为五个使用频率不同的字符设计哈夫曼编码，下列方案中哪个不可能是哈夫曼编码？（ A ）

A.00，100，101，110，111

B.000，001，01，10，11

C.0000，0001，001，01，1

D.000，001，010，011，1

解析：这道题是一道很经典的题，注意哈夫曼前缀码树没有度为1的结点。一眼就能看出A错了，因为没有01，相当于根的左孩子的度为1，明显违反前缀码树的定义。

10.已知不相交集合用数组表示为{ 4, 6, 5, 2, -3, -4, 3 }。若集合元素从1到7编号，则调用Union(Find(7),Find(1))（按规模求并，并且带路径压缩）后的结果数组为：（ D ）

A.{ 4, 6, 5, 2, 6, -7, 3 }

B.{ 4, 6, 5, 2, -7, 5, 3 }

C.{ 6, 6, 5, 6, -7, 5, 5 }

D.{ 6, 6, 5, 6, 6, -7, 5 }

解析：这是一道并查集的题目，并查集需要掌握的只有三个点，1存储方式，2查找与合并，3路径压缩。现在来分析这道题，先进行find操作，找出7的根结点是5，5底下挂了3个孩子；然后找到1的根节点是6，6底下挂了4个孩子，根据Union算法的要求，将孩子少的挂到孩子多的根结点身上，所以将5挂到6下面，而且要求带路径压缩，所以答案选D，具体看下图。

------------------------------------------------------------图----------------------------------------------------------------

1.Kruskal's algorithm is to grow the minimum spanning tree by adding one edge, and thus an associated vertex, to the tree in each stage.

解析：题目中文意思是，Kruskal算法是以在每个阶段插入一条边，从而添加一个结点，最后生成Spanning tree（最小生成树）的过程。

这里明显错了哈，Kruskal算法初始是一个没有边的森林，通过插入边生成最小生成树，而不是通过插入边完善顶点。

2.If graph G is a connected graph, the spanning tree of G is a maximal connected subgraph containing all n vertices of G.

解析：题目中文意思是，如果图G是一个连通图，那么G的生成树是G的一个包含G所有顶点的极大连通子图。如果G是无向图，那么G的极大连通子图（也称连通分量）是唯一的，且无向图G的生成树不是唯一的，只要遍历一次G就能生成一颗生成树。

3.Let M be the minimum spanning tree of a weighted graph G. Then the path in M between V1 and V2 must be the shortest path between them in G.

解析：题目中文意思是，如果M是带权图G的最小生成树，那么在M中，V1,V2这两个顶点间的路径一定是原图G里这两个顶点间所有路径里最短的。

这个很容易选错，就是回顾一下，最小生成树是边权值总和最少的，举个栗子：

In a weighted graph, if the length of the shortest path from b to a is 10, and there exists an edge of weight 3 between c and b, then how many of the following statements is/are TRUE?（ B ）

The length of the shortest path from c to a must be 13.
The length of the shortest path from c to a must be 7.
The length of the shortest path from c to a must be no greater than 13.
The length of the shortest path from c to a must be no less than 7.

A.1

B.2

C.3

D.4

解析：这道题中文意思是，如果在一个带权图中，顶点b到顶点a的最短路径是10，而且c到b中间有一条权重为3的路，下面说法有几个是对的。

看第一个，肯定错了。第二个也是。画图就知道既然3存在，那么最短路径最大不可能超过13了。而且最少不可能比7还小，如果比7小的话，b-a的最短路径就不是10了。

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