单源最短路径-迪杰斯拉特算法

思路：

在网络中，从某个顶点Vx出发到达另外一个顶点Vi，往往有多条路径，其中，边的权值之和最小的路径称为最短路径，并称Vx为这条最短路径的源点,Vi为终点。

显然，边最少的路径不一定是最短路径。

求网络中从指定源点到其余各顶点的最短路径的问题，通常称为单源最短路径问题。

迪杰斯拉特方法：

当n个顶点的有向网络和源点都给定以后，如何求得该源点到其余各顶点的最短路径？

迪杰斯拉特提出了一个解决此问题的简单方法，即按最短路径长度由小到大的次序，逐步求得每一条最短路径。

迪杰斯拉特算法中三个辅助数组的作用：

1、d[i]记录从源点Vx到顶点Vi的“当前最短的”路径长度值

2、path[i]记录从源点Vx到顶点Vi的"当前最短的"路径上倒数第二个顶点的序号

3、s[i]=true表示从源点Vx到顶点Vi的最短路径已最终确定;s[i]=false表示源点Vx到顶点Vi的最短路径尚未最终确定。

算法key process:

初始化，确定第i条最短路径的终点，修正源点到其余各顶点的最短路径。直到全部确定完毕为止

代码：

//迪杰斯特拉算法
template <class T>
void ExtMGraph<T>::Dijkstra(int v,T* d,int* path)
{int i,k,w; if (v<0||v>n-1) {cout<< “OutOfBounds”;  return;}bool *s=new bool[n]; for (i=0;i<n;i++){s[i]=false; d[i]=a[v][i];if (i!=v && d[i]<INFTY) path[i]=v;else path[i]=-1;}
s[v]=true; //d[v]=0; for (i=1;i<n;i++){//确定第i条最短路径的终点序号kk=Choose(d,s);s[k]=true;  //修正源点到其余各顶点的最短路径      for (w=0; w<n; w++)             if (!s[w] && d[k]+a[k][w]< d[w]){     d[w]=d[k]+a[k][w]; path[w]=k;}}
}
template <class T>
int ExtMGraph<T>::Choose(int* d, bool* s)
{int i,minpos; T min;min=INFTY; minpos=-1;for (i=1;i<n;i++)if (d[i]<min &&!s[i]){min=d[i];minpos=i;}return minpos;
}

算法分析：

-上述算法的执行时间为O(n^2);

-如果只希望求从源点到某一特定顶点之间的最短路径，也需要与求单源最短路径相同的时间复杂度O(n^2)

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