HDU:6697-Closest Pair of Segments（空间内的最近线段）

题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=6697

题意：现在在平面上有nnn条线段，并且定义线段xxx和线段yyy的最短距离为在xxx上任取一点和yyy上任取一点，最小的两点之间距离为两线段的最短距离。

解题心得：

先分析复杂度，nnn的范围是100001000010000，如果直接n2n^2n2暴力加上TTT组数据肯定会超时。这个时候可以按线段的左端点的xxx排序，这样在按顺序枚举任意两条直线的时候如果右侧线段左端点xxx值和左侧线段右端点xxx值的差值大于目前找到的答案，这个时候可以跳出第二重循环。就是暴力的时候剪枝。
然后就是两个线段怎么求最小距离，设现在一个三维空间内有四个点，分别是ABCDABCDABCD，坐标分别是A(x1,y1,z1)A(x1, y1, z1)A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)B(x2, y2, z2)B(x2,y2,z2)，C(x3,y3,z3)C(x3, y3, z3)C(x3,y3,z3)，D(x4,y4,z4)D(x4, y4, z4)D(x4,y4,z4)，两条线段分别是ABABAB和CDCDCD。设P,QP,QP,Q分别为在ABABAB和CDCDCD上的点，P,QP,QP,Q可以用参数方程表示，PPP可以表示为：{X=x1+S(x2−x1)Y=y1+S(y2−y1)Z=z1+S(z2−z1)\left\{\begin{matrix} & X=x1+S(x2-x1) & \\ & Y=y1+S(y2-y1) & \\ & Z=z1+S(z2-z1) & \end{matrix}\right.⎩⎨⎧X=x1+S(x2−x1)Y=y1+S(y2−y1)Z=z1+S(z2−z1)QQQ可以表示为：{U=x3+T(x4−x3)V=y3+T(y4−y3)W=z3+T(z4−z3)\left\{\begin{matrix} & U=x3+T(x4-x3) & \\ & V=y3+T(y4-y3) & \\ & W=z3+T(z4-z3) & \end{matrix}\right.⎩⎨⎧U=x3+T(x4−x3)V=y3+T(y4−y3)W=z3+T(z4−z3)
参数T和S必须满足0<T<10<T<10<T<1且0<S<10<S<10<S<1这个时候P,QP,QP,Q两点才在线段上，否则是在线段的延长线上。两点间的距离PQ=(X−U)2+(Y−V)2+（Z−W)2PQ=\sqrt{(X-U)^2+(Y-V)^2+（Z-W)^2}PQ=(X−U)2+(Y−V)2+（Z−W)2，设距离的平方为f(s,t)=[(x1−x3)+S(x2−x1)−T(x4−x3)]2+[(y1−y3)+S(y2−y1)−T(y4−y3)]2+[(z1−z3)+S(x2−x1)+T(z4−z3)]2f(s,t)=[(x1-x3)+S(x2-x1)-T(x4-x3)]^2+[(y1-y3)+S(y2-y1)-T(y4-y3)]^2+[(z1-z3)+S(x2-x1)+T(z4-z3)]^2f(s,t)=[(x1−x3)+S(x2−x1)−T(x4−x3)]2+[(y1−y3)+S(y2−y1)−T(y4−y3)]2+[(z1−z3)+S(x2−x1)+T(z4−z3)]2
这个时候我们需要得到的是f(s,t)f(s,t)f(s,t)的最小值，所以对f(s,t)f(s,t)f(s,t)分别求对sss和ttt的偏导数，并且令偏导数为000,联立可以可以得到{[(x2−x1)2+(y2−y1)2+(z2−z1)2]S−[(x2−x1)(x4−x3)+(y2−y1)(y4−y3)+(z2−z1)(z4−z3)]T=(x1−x2)(x1−x3)+(y1−y2)(y1−y3)+(z1−z2)(z1−z3)−[(x2−x1)(x4−x3)+(y2−y1)(y4−y3)+(z2−z1)(z4−z3)]S+[(x4−x3)2+(y4−y3)2+(z4−z3)2]T=(x1−x3)(x4−x3)+(y1−y3)(y4−y3)+(z1−z3)(z4−z3)\left\{\begin{matrix} & [(x2-x1)^2+(y2-y1)^2+(z2-z1)^2]S-[(x2-x1)(x4-x3)+(y2-y1)(y4-y3)+(z2-z1)(z4-z3)]T=(x1-x2)(x1-x3)+(y1-y2)(y1-y3)+(z1-z2)(z1-z3) & \\ & -[(x2-x1)(x4-x3)+(y2-y1)(y4-y3)+(z2-z1)(z4-z3)]S+[(x4-x3)^2+(y4-y3)^2+(z4-z3)^2]T=(x1-x3)(x4-x3)+(y1-y3)(y4-y3)+(z1-z3)(z4-z3) & \end{matrix}\right.{[(x2−x1)2+(y2−y1)2+(z2−z1)2]S−[(x2−x1)(x4−x3)+(y2−y1)(y4−y3)+(z2−z1)(z4−z3)]T=(x1−x2)(x1−x3)+(y1−y2)(y1−y3)+(z1−z2)(z1−z3)−[(x2−x1)(x4−x3)+(y2−y1)(y4−y3)+(z2−z1)(z4−z3)]S+[(x4−x3)2+(y4−y3)2+(z4−z3)2]T=(x1−x3)(x4−x3)+(y1−y3)(y4−y3)+(z1−z3)(z4−z3)
对于上式进行求解可以得到SSS和TTT的值，这个时候若SSS和TTT都满足(0,1)(0, 1)(0,1)区间则可以直接得到P,QP,QP,Q两点具体的值，这样就得到了PQPQPQ的距离。
若S,TS,TS,T的范围不满足条件，则可以先得到A,BA,BA,B两点到线段CDCDCD的距离dis1,dis2dis1,dis2dis1,dis2，C,DC,DC,D两点到线段ABABAB的距离dis3dis3dis3，dis4dis4dis4，这时两线段的距离就是min(dis1,dis2,dis3,dis4)min(dis1, dis2, dis3, dis4)min(dis1,dis2,dis3,dis4)。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 3e5+100;struct Seg {double x1, x2, y1, y2;bool operator < (const Seg&x) const {return x1 < x.x1;}
}seg[maxn];int t, n;
double ans;void init() {ans = 2e18;scanf("%d",&n);for(int i=1;i<=n;i++) {scanf("%lf%lf%lf%lf", &seg[i].x1, &seg[i].y1, &seg[i].x2, &seg[i].y2);if(seg[i].x2 < seg[i].x1) {swap(seg[i].x1, seg[i].x2);swap(seg[i].y1, seg[i].y2);}}sort(seg+1, seg+1+n);
}bool checke(int x, int y) {double dis1 = seg[x].x2;double dis2 = seg[y].x1;if(dis2 - dis1 > ans) return true;return false;
}double PointToSegDist(double x, double y, double x1, double y1, double x2, double y2)//点到直线距离
{double cross = (x2 - x1) * (x - x1) + (y2 - y1) * (y - y1);if (cross <= 0) return sqrt((x - x1) * (x - x1) + (y - y1) * (y - y1));double d2 = (x2 - x1) * (x2 - x1) + (y2 - y1) * (y2 - y1);if (cross >= d2) return sqrt((x - x2) * (x - x2) + (y - y2) * (y - y2));double r = cross / d2;double px = x1 + (x2 - x1) * r;double py = y1 + (y2 - y1) * r;return sqrt((x - px) * (x - px) + (py - y) * (py - y));
}double get_dis(int x, int y) {double k1, k2, k3, k4, a1, a2;double x1 = seg[x].x1, x2 = seg[x].x2, y1 = seg[x].y1, y2 = seg[x].y2;double x3 = seg[y].x1, x4 = seg[y].x2, y3 = seg[y].y1, y4 = seg[y].y2;double z2 = 0, z1 = 0, z4 = 0, z3 = 0;//二维平面则z坐标没有使用k1 = ((x2-x1)*(x2-x1) + (y2-y1)*(y2-y1) + (z2-z1)*(z2-z1));k2 = -((x2-x1)*(x4-x3) + (y2-y1)*(y4-y3) + (z2-z1)*(z4-z3));a1 = (x1-x2)*(x1-x3) + (y1-y2)*(y1-y3) + (z1-z2)*(z1-z3);k3 = -((x2-x1)*(x4-x3) + (y2-y1)*(y4-y3) + (z2-z1)*(z4-z3));k4 = (x4-x3)*(x4-x3) + (y4-y3)*(y4-y3) + (z4-z3)*(z4-z3);a2 = (x1-x3)*(x4-x3) + (y1-y3)*(y4-y3) + (z1-z3)*(z4-z3);double temp_k = k1;k1 *= k3;k2 *= k3;a1 *= k3;k3 *= temp_k;k4 *= temp_k;a2 *= temp_k;double T = (a1-a2)/(k2-k4);double S = (a1-k2*T)/k1;if(S >=0 && S <= 1.0 && T >= 0 && T <= 1.0) {double X = x1 + (x2-x1)*S;double Y = y1 + (y2-y1)*S;double Z = z1 + (z2-z1)*S;double X1 = x3 + (x4-x3)*T;double Y1 = y3 + (y4-y3)*T;double Z1 = z3 + (z4-z3)*T;return sqrt((X-X1)*(X-X1) + (Y-Y1)*(Y-Y1) + (Z-Z1)*(Z-Z1));} else {double dis1 = PointToSegDist(x1, y1, x3, y3, x4, y4);double dis2 = PointToSegDist(x2, y2, x3, y3, x4, y4);double dis3 = PointToSegDist(x3, y3, x1, y1, x2, y2);double dis4 = PointToSegDist(x4, y4, x1, y1, x2, y2);return min(min(dis1, dis2), min(dis3, dis4));}
}void solve() {for(int i=1;i<=n;i++) {for(int j=i+1;j<=n;j++) {if(checke(i, j)) break;else ans = min(ans, get_dis(i, j));}}
}int main() {//    freopen("1.in.txt", "r", stdin);scanf("%d", &t);while(t--) {init();solve();printf("%.9f\n", ans);}
}

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