剪绳子（动态规划、贪心算法）

一、前言

《剑指Offer》中题14

二、题目

给你一根长度为n的绳子，请把绳子剪成m段(m、n都是整数，n>1并且m>1)，每段绳子的长度记为k[0]，k[1]，...，k[m]。请问k[0] X k[1] X ... X k[m]。可能的最大乘积是多少?例如，当绳子的长度是8时，我们把它剪成长度分别为2、3、3的三段，此时得到的最大乘积是18。

三、思路

第一种解法：递归自顶向下解法

当第一次看到这个问题的时候第一反应的什么呢？有点蒙，再细细想想这个问题。将一根绳子分为m段其乘积最大，m段必定有两部分组成定为m1，m2，要想m段乘积最大，就需要保证m1段中的分割乘积是最大，同理m2也需一样。先看下面图，n第一次分割之后如下：

备注，第一行和下面组合不是两个值直接相乘，而是拆分之后最大的值相乘，例如 m1 长度为 6， m2 长度 n-6，m1分割最大乘积是9（3*3）

最大的结果肯定为其中一个组合，即：f(n) = max(f(i) X f(n-i))；同理 f(i)，f(n-i)又可以往下切割，直到最小单位位置，最小切割单位为 f(1) = 1，f(2) = 2， f(3) = 3。

分析完成脑海立马想到的是递归解法，递归简单易懂。

第二种解法：递推自下而上解法

递归很好理解，但递归重复了大量计算，随着n值增大，效率呈指数下降。递归是自顶向下，那有没有自下而上的解法呢？

回顾一下斐波那契数列第二种解法，它是每次计算f(k)，f(k+1)的值，通过f(k)，f(k+1)可以求出f(k+2)，通过f(k+1)，f(k+2) 可以求出f(k+2)，一直到f(n)。

同理我们要求f(k) = max(f(i) X f(k-i))，我们需要提前记录f(i)，f(k-i)最大的值，循环遍历计算之后就能求出f(k)最大值，同理以此往下计算到f(n)为止就可以了

第三种解法：贪心解法（更像是数学推导的结果）

当 n >= 5 时，可以证明：2(n-2) > n && 3(n-3) > n。也就是说当绳子剩下的长度大于或者等于5的时候，我们可以将绳子剪成长度为 3 或 2。另外，当 n >= 5时，3(n-3) >= 2(n-2)，因此我们应该将可能多的剪成长度为3绳子段。

需要注意的是第一种和第二种解法属动态规划，第三属贪心算法。后续会详细讲解。

四、注意事项

多领悟里面的思想。

五、编码实现

#include <iostream>
#include <cmath>// ====================动态规划====================// 解法一： 递归自顶向下解法
int maxProductSubset(int length)
{if (length <= 0){return 0;}int maxProductArr[] = { 0, 1, 2, 3, 4 };if (length < sizeof(maxProductArr) / sizeof(maxProductArr[0])){return maxProductArr[length];}int maxProduct = 0;for (int i = 1; i <= length / 2; ++i){int maxProductT = maxProductSubset(i) * maxProductSubset(length - i);maxProduct = maxProduct > maxProductT ? maxProduct : maxProductT;}return maxProduct;
}int maxProductAfterCutting_solution1(int length)
{if (length <=0){return 0;}int maxProductArr[] = { 0, 0, 1, 2, 4 };if (length < sizeof(maxProductArr) / sizeof(maxProductArr[0])){return maxProductArr[length];}int maxNum = 0;for (int i = 1; i <= length / 2; ++i){int product = maxProductSubset(i) * maxProductSubset(length - i);maxNum = maxNum > product ? maxNum : product;}return maxNum;
}// 解法二： 递推自下而上解法
int maxProductAfterCutting_solution2(int length)
{if(length < 2)return 0;if(length == 2)return 1;if(length == 3)return 2;int* products = new int[length + 1];products[0] = 0;products[1] = 1;products[2] = 2;products[3] = 3;int max = 0;for(int i = 4; i <= length; ++i){max = 0;for(int j = 1; j <= i / 2; ++j){int product = products[j] * products[i - j];if(max < product)max = product;}products[i] = max;}max = products[length];delete[] products;return max;
}// ====================贪婪算法====================
// 解法三： 贪心算法
int maxProductAfterCutting_solution3(int length)
{if(length < 2)return 0;if(length == 2)return 1;if(length == 3)return 2;// 尽可能多地减去长度为3的绳子段int timesOf3 = length / 3;// 当绳子最后剩下的长度为4的时候，不能再剪去长度为3的绳子段。// 此时更好的方法是把绳子剪成长度为2的两段，因为2*2 > 3*1。if(length - timesOf3 * 3 == 1)timesOf3 -= 1;int timesOf2 = (length - timesOf3 * 3) / 2;return (int) (pow(3, timesOf3)) * (int) (pow(2, timesOf2));
}// ====================测试代码====================
void test(const char* testName, int length, int expected)
{if(length < 50){// 递归效率太低，length较大时执行时间很长int result1 = maxProductAfterCutting_solution1(length);if(result1 == expected)std::cout << "Solution1 for " << testName << " passed." << std::endl;elsestd::cout << "Solution1 for " << testName << " FAILED." << std::endl;}int result2 = maxProductAfterCutting_solution2(length);if(result2 == expected)std::cout << "Solution2 for " << testName << " passed." << std::endl;elsestd::cout << "Solution2 for " << testName << " FAILED." << std::endl;int result3 = maxProductAfterCutting_solution3(length);if(result3 == expected)std::cout << "Solution3 for " << testName << " passed." << std::endl;elsestd::cout << "Solution3 for " << testName << " FAILED." << std::endl;
}void test1()
{int length = 1;int expected = 0;test("test1", length, expected);
}void test2()
{int length = 2;int expected = 1;test("test2", length, expected);
}void test3()
{int length = 3;int expected = 2;test("test3", length, expected);
}void test4()
{int length = 4;int expected = 4;test("test4", length, expected);
}void test5()
{int length = 5;int expected = 6;test("test5", length, expected);
}void test6()
{int length = 6;int expected = 9;test("test6", length, expected);
}void test7()
{int length = 7;int expected = 12;test("test7", length, expected);
}void test8()
{int length = 8;int expected = 18;test("test8", length, expected);
}void test9()
{int length = 9;int expected = 27;test("test9", length, expected);
}void test10()
{int length = 10;int expected = 36;test("test10", length, expected);
}void test11()
{int length = 50;int expected = 86093442;test("test11", length, expected);
}int main(int agrc, char* argv[])
{test1();test2();test3();test4();test5();test6();test7();test8();test9();test10();test11();return 0;
}

执行结果：