【算法】【动态规划篇】第5节：剪绳子问题

本期任务：介绍算法中关于动态规划思想的几个经典问题

【算法】【动态规划篇】第1节：0-1背包问题

【算法】【动态规划篇】第2节：数字矩阵问题

【算法】【动态规划篇】第3节：数字三角形问题

【算法】【动态规划篇】第4节：硬币找零问题

【算法】【动态规划篇】第5节：剪绳子问题

【算法】【动态规划篇】第6节：最低票价问题

【算法】【动态规划篇】第7节：最长子串问题

【算法】【动态规划篇】第8节：最大正方形问题

【算法】【动态规划篇】第9节：乘积最大子数组问题

【算法】【动态规划篇】第10节：最长连续序列问题

一、问题描述

"""剪绳子问题给你一根长度为N的绳子，请把绳子剪成M段（m,n都是整数），每段绳子的长度记为k[0],k[1],k[2]…. 请问如何剪绳子使得k[0],k[1],k[2]的乘积最大例如 绳子长度8 最大乘积18 = 2*3*3输入：n=8输出：18"""

二、算法思路

本题的解法与硬币找零问题大同小异，可以阅读【算法】【动态规划篇】第4节：硬币找零问题，加深对此类问题的理解。

1. 策略选择

一个模型：

剪绳子问题是典型的“多阶段决策求最优解”问题，每一次决策有最多有n种选择，直到目标值n为0时结束；最优解是各段长度乘积的最大值。

三个特征：

重复子问题：
- 不同的决策序列，到达某个相同的阶段时，可能会产生重复的状态。
- 本题中，前两段长度分别为 ( 2 , 2 ) (2,2) (2,2)和 ( 1 , 3 ) (1,3) (1,3)都能进入目标值为4的状态
无后效性：
- 前面阶段的状态确定之后，不会被后面阶段的决策所改变。一般而言，满足多阶段决策最优解模型的问题都满足无后效性，特例情况，如八皇后问题、解数独问题等。
最优子结构：
- 后面阶段的状态可以通过前面阶段的状态推导出。
- 本题中，目标值为8的状态可以由目标值为1-7的状态来推导。

综上所述，本问题满足一个模型、三个特征，所以可以使用动态规划来求解。
当然，凡是能用动态规划解决的问题，都可以用回溯思想来暴力求解，具体实现代码在文末给出，更多关于回溯思想的应用，可以参照：【算法】【回溯篇】第7节：0-1背包问题

三、Python代码实现

1. 动态规划解法

class Solution():def dp(self, n):"""使用动态规划求解剪绳子问题，思路：维护一个长为n的数组，自底向上求解最优值！！！:param n: 绳子长度:return: 最大乘积值"""if n < 2:  # 长度为1，无法剪return 0if n == 2:  # 长度为2，只能剪成1*1return 1if n == 3:  # 长度为3，剪成2*1 > 1*1*1return 2res = [-1] * (n + 1)  # 初始化数组res[0] = 1  # 约定f(0)=1for i in range(1, n + 1):  # 依次计算f(1)--f(8)res[i] = max([(j + 1) * res[i - j - 1] for j in range(i)])return res[-1]def main():n = 8client = Solution()print(client.dp(n))if __name__ == '__main__':main()

运行结果：

2. 回溯解法

class Solution():def trackback(self, n):"""使用回溯法求解剪绳子问题:param n: 绳子长度:return: 最大乘积值"""if n < 2:  # 长度为1，无法剪return 0if n == 2:  # 长度为2，只能剪成1*1return 1if n == 3:  # 长度为3，剪成2*1 > 1*1*1return 2self.max_v = n  # n大于0，所以初值设为nself.helper(n, 1)  # 回溯暴力求解return self.max_vdef helper(self, n, v):"""一次遍历完所有可能"""if n == 0:  # 当绳长为0时进行结算if self.max_v < v:self.max_v = vreturnfor i in range(1, n + 1):  # 每次分段的长度介于[1, n]self.helper(n - i, v * i)def main():n = 8client = Solution()print(client.trackback(n))if __name__ == '__main__':main()

运行结果：

【算法】【动态规划篇】第5节：剪绳子问题相关推荐

动态规划贪婪算法之剪绳子
动态规划算法是通过拆分问题,定义问题状态和状态之间的关系,使得问题能够以递推(或者说分治)的方式去解决. 1. 可以使用动态规划的情形: (1)在应用动态规划之前,要分析能否把大问题分解成小问 ...
【算法】【动态规划篇】第3节：数字三角形问题
本期任务:介绍算法中关于动态规划思想的几个经典问题 [算法][动态规划篇]第1节:0-1背包问题 [算法][动态规划篇]第2节:数字矩阵问题 [算法][动态规划篇]第3节:数字三角形问题 [算法][动 ...
剪绳子算法_[校招-算法题]动态规划
动态规划(Dynamic Programming)是面试中非常常见的一种算法,可以解决很多复杂问题. 核心算法: 定义状态:dp[i],一个数组,具体几维根据问题定. 状态转移方程:dp[i] = b ...
动态规划-剪绳子问题
题目给你一根长度为n的绳子,请把绳子剪成整数长的m段(m.n都是整数,n>1并且m>1),每段绳子的长度记为k[0],k[1],-,k[m-1].请问k[0]×k[1]×-×k[m]可能 ...
12、剪绳子——剑指offer——动态规划
剪绳子问题描述:给你一根长度为n的绳子,请把绳子剪成m段(m和n都是整数,n>1并且m>1), 每段绳子的长度记为k[0],k[1],...,k[m]. 请问k[0]*k[1]*...* ...
Java入门算法（动态规划篇2：01背包精讲）
本专栏已参加蓄力计划,感谢读者支持❤ 往期文章一. Java入门算法(贪心篇)丨蓄力计划二. Java入门算法(暴力篇)丨蓄力计划三. Java入门算法(排序篇)丨蓄力计划四. Java入门算 ...
【LeetCode笔记】剑指 Offer 14. 剪绳子 I II（Java、动态规划、偏数学）
文章目录剪绳子 I 题目描述思路 && 代码 1. 动态规划 O(n2n^2n2).O(n) 2. 最优解:数学方法 O(n).O(1) 二刷剪绳子 II 题目描述思路 &am ...
剑指 Offer 14.剪绳子（动态规划、数学分析）
一.题目内容二.题目分析这道题目讲道理,我看到的第一眼就是动态规划,但是后来提交之后,发现还有大佬考虑用数学分析得出精简解法,在这里我也会一一阐述. 对于动态规划而言,按照老套路,首先定义dp数 ...
算法复习——动态规划篇之最长公共子序列问题
算法复习--动态规划篇之最长公共子序列问题以下内容主要参考中国大学MOOC<算法设计与分析>,墙裂推荐希望入门算法的童鞋学习! 1. 问题背景子序列:将给定序列中零个或多个元素(如字符 ...

【算法】【动态规划篇】第5节：剪绳子问题

本期任务：介绍算法中关于动态规划思想的几个经典问题

一、问题描述

二、算法思路

1. 策略选择

三、Python代码实现

【算法】【动态规划篇】第5节：剪绳子问题相关推荐

最新文章

热门文章