电路重要结论—— 一阶二阶电路时域分析结论
目录
一阶电路推导
电容和电感双端的伏安关系
正弦电压激励下的零状态响应
一阶电路的全响应
二阶电路的零输入响应
第一种情况，编辑，我们称之为非震荡放电过程
一阶电路推导
电容和电感双端的伏安关系
首先是电容和电感双端的伏安关系
一阶RC电路的零输入响应 ，列出方程
,
,
一阶RL电路的零输入响应，列出方程
，结合边界条件我们可以知道
一阶RC电路的零状态响应，
这个方程由特解和通解两方面组成，
一阶LC电路的零状态响应，我们列出方程
我们可以解得
结合边界条件我们可以得到
特解称为稳态分量，同时可以看出特解 与外施激励的变化规律有关，所以又可以称为强制分量，齐次方程的通解取决于特征根而与外施激励无关，所以称为自由分量
正弦电压激励下的零状态响应
下面我们开始讨论正弦电压激励下的零状态响应
我们可以列出方程
首先我们可以得到通解形式，然后我们考虑求特解，通过查表我们设出通解形式，最后我们可以解得特解
，其中
所以最后电流的表达式，我们可以知道自由分量随着时间增长趋于0，最终只剩下强制分量，所以说这种电路需要经历一个过渡过程，然后到达稳定状态，自由分量与开关闭合的时刻有关
一阶电路的全响应
一阶电路的全响应，当一个非零状态的一阶电路受到激励的时候，电路得响应称为一阶电路的全响应，设电压源的电压，设电容原有电压
,我们可以列出方程
我们首先得到通解,
，由于初始状态的电压为
我们可以得到最终表达式，可以看出上面第一项是电路的零状态响应，右边第二项是电路的零输入响应，所以我们可以得到第一个等式
全相应=零状态响应+零输入响应
我们还可以看出，右边有一项是电路微分方程的特解，其变化规律与电路施加的激励相同，所以称为强制分量，另一项对应的是微分方程的通解，它的变化规律取决于电路参数而与外界激励无关，所以称之为自由分量
在直流或者正弦交流的一阶电路中，常取换路后后达到新的稳态的解作为特解，而自由分量随着时间的增长逐渐趋近于0，所以通常将全响应看作是稳态分量和瞬态分量的叠加，即
全响应=（稳态分量）+ 瞬态分量
不管是哪一种方式和角度来思考这个问题，我们都可以发现电路的表达式总是由初始值，特解和时间常数，三个量所决定
在直流电压下，我们可以写成
在正弦激励下，我们可以写成
其中为稳态响应
二阶电路的零输入响应
用二阶微分方程描述的动态电路称为二阶电路。在二阶电路中，给定的初始条件应该有两个，他们由储能元件的初始值决定，RLC串联电路和GLC并联电路是最简单的二阶电路
RLC放电电路，假设电容已经充过电
根据KVL列出方程
我们首先列出特征根方程
我们解除特征根为
通解的形式
由此可以看出特征根仅仅和电路参数和结构有关，而与激励和初始储能无关
由初始条件我们可以得到
为了方便表示，我们取特殊情况
我们解得,
由于R,L,C参数得不同，我们可以想见分为三种情况
第一种情况，
，我们称之为非震荡放电过程
电感的能量
电容得能量
,电流逐渐增大，电感线圈吸收能量，建立磁场
，电流逐渐减小，电感线圈放出能量，磁场能量衰减
第二种情况，，震荡放电过程
在这种情况下,特征根是一对共轭复数
我们令
于是有
我们令
于是我们就有
所以我们有
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