基于压缩存储的半三角矩阵乘法运算的实现

题目：

已知两个n阶下半三角矩阵的乘积仍为n阶下半三角矩阵。编程输入两个n阶下半三角矩阵，输出这两个矩阵的乘积。要求n阶下半三角矩阵采用一维数组压缩存储（即只存储下半三角）。

程序先从键盘(或字符文件)输入n值，建立三个矩阵的一维数组动态存储结构，然后从键盘(或字符文件)输入两个半三角矩阵，最后输出计算结果到屏幕上(或另一个字符文件中)。

例如：键盘输入为：

2 3

4 5 6

-1

-2 -3

-4 -5 -6

则输出为：

-1

-8 -9

-38 -45 -36

解答：

#include <iostream>
#include <string>
using namespace std;
#define TRUE    1
#define FALSE   0
#define ElemType    intvoid Multiply(ElemType* matrix1, ElemType* matrix2, ElemType* matrix3, int n)
{// 下三角矩阵相乘for (int i = 0; i < n; i++){for (int j = 0; j <= i; j++){for (int k = 0; k <= i - j; k++) // 每次相乘的有效项有i-j+1个{matrix3[i * (i + 1) / 2 + j] += matrix1[i * (i + 1) / 2 + k + j] * matrix2[(j + k) * (j + k + 1) / 2 + j];     //矩阵乘法：C[i][j] += A[i][k]*B[k][j]，压缩后需要改进算法k = i * (i + 1) / 2 + j}}}
}int main()
{int k = 0; // 记录元素个数int n = 0; // 矩阵阶数ElemType* tri_matrix1;ElemType* tri_matrix2;ElemType* tri_matrix3;cout << "请输入下半三角矩阵的阶数：" << endl;cin >> n;// 建立动态一维数组类型k = n * (n + 1) * 1.0 / 2;tri_matrix1 = new ElemType[k];tri_matrix2 = new ElemType[k];tri_matrix3 = new ElemType[k];for (int m = 0; m < k; m++)  // 置零tri_matrix3[m] = 0;cout << "请依次输入两个下三角矩阵: " << endl;for (int i = 0; i < k; i++){cin >> tri_matrix1[i];}for (int j = 0; j < k; j++){cin >> tri_matrix2[j];}// 相乘Multiply(tri_matrix1, tri_matrix2, tri_matrix3, n);// 输出结果int x = 0;cout << "相乘后的下三角矩阵为：" << endl;for (int i = 0; i < n; i++){for (int j = 0; j <= i; j++){x = i * (i + 1) / 2 + j;cout << tri_matrix3[x] << " ";}cout << endl;}return 0;
}

效果如下：

解析：

本题难点在于下三角矩阵压缩后的一维数组间的相乘算法设计。由于输入的只有矩阵下半部分，已知的数据只有两个压缩一维数组，以及矩阵的阶数，想要将数组下标与矩阵中元素(i, j)位置对应，需要用到k = (i + 1) * i + j这一等式。而且不同于两个完整矩阵相乘，下三角矩阵间的相乘有限制，比如j <= i，矩阵1的第i行与矩阵2第j列相乘实际有效可乘项只有i-j+1项等。注意矩阵对角线这个提示，有效项都靠在对角线上，这样就能知道matrix1[]*matrix2[]两个下标该怎么填了。i，j确定情况下，在第三个随k变化的循环中，前面maxtrix1的项列变行不变，后面maxtri2的项行变列不变，寻找规律即可得出下标。

总结：

由于笔者水平有限，实际码龄不足半年，代码出现错误难免，希望大家能够批评指正，多多交流。如需借鉴代码，请更改代码变量名称或结构，我只是提供一个解题思路，如有其他解法可以在评论区交流。

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