技术图文：Matlab VS. Numpy 常见矩阵
背景
前段时间在知识星球上立了一个Flag，至少写10篇关于 Python，Matlab 和 C# 对比的总结。
这是第 4 篇，对比 Matlab 与 Numpy 中经常用到的各种矩阵，比如零矩阵、单位矩阵、全1矩阵、对角矩阵、均匀分布的随机矩阵、标准正态分布的随机矩阵等。
虽然 Numpy 定义了 matrix 类型，使用该 matrix 类型创建的是矩阵对象。但是由于 NumPy 中同时存在 ndarray 和 matrix 对象，因此用户很容易将两者弄混。这有违 Python 的“显式优于隐式”的原则，因此官方并不推荐在程序中使用 matrix。在这里，我们仍然用 ndarray 来介绍。
1. 零矩阵
零矩阵为矩阵内所有元素为零的矩阵。在具体任务中通常先用零矩阵来确定大小，随后为矩阵元素赋值。
在 Matlab和Python 中都用zeros()函数来实现。
在 Matlab 中，zeros(m,n)表示零矩阵，其中mmm为行数，nnn为列数。若为方阵，则以zeros(n)表示。
在 Numpy 中，numpy.zeros(shape, dtype=None, order='C')函数返回给定形状和类型的零数组。
【例1】求3行4列的零矩阵。
Matlab：
>> A = zeros(3,4);
>> disp(A)0 0 0 00 0 0 00 0 0 0
Python：
import numpy as npA = np.zeros([3, 4])
print(A)
# [[0. 0. 0. 0.]
# [0. 0. 0. 0.]
# [0. 0. 0. 0.]]
【例2】求4阶的零矩阵。
Matlab：
>> A = zeros(4);
>> disp(A)0 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 0
Python：
import numpy as npA = np.zeros([4, 4])
print(A)
# [[0. 0. 0. 0.]
# [0. 0. 0. 0.]
# [0. 0. 0. 0.]
# [0. 0. 0. 0.]]A = np.zeros(4)
print(A)
# [0. 0. 0. 0.]
np.zeros(4)表示生成 Numpy 中的包含4个零元素的一维数组。
注意：在线性代数里面讲的维数和数组的维数不同，如线代中提到的 n 维行向量在 Numpy 中是一维数组，而线性代数中的 n 维列向量在 Numpy 中是一个shape为(n, 1)的二维数组。
2. 全1矩阵
矩阵中所有元素为1，称为全1矩阵。
在 Matlab和Numpy 中都用ones()函数来表示。
在 Matlab 中，ones(m,n)表示全1矩阵，其中mmm为行数，nnn为列数。若为方阵，则以ones(n)表示。
在 Numpy 中，numpy.ones(shape, dtype=None, order='C')函数返回给定形状和类型的全1数组。
【例1】求4阶全1矩阵。
Matlab：
>> A=ones(4);
>> disp(A)1 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 1
Python：
import numpy as npA = np.ones([4, 4])
print(A)
# [[1. 1. 1. 1.]
# [1. 1. 1. 1.]
# [1. 1. 1. 1.]
# [1. 1. 1. 1.]]A = np.ones(4)
print(A)
# [1. 1. 1. 1.]
【例2】求3行4列的全1矩阵。
Matlab：
>> A=ones(3,4);
>> disp(A)1 1 1 11 1 1 11 1 1 1
Python：
import numpy as npA = np.ones([3, 4])
print(A)
# [[1. 1. 1. 1.]
# [1. 1. 1. 1.]
# [1. 1. 1. 1.]]
3. 单位矩阵
单位矩阵为主对角线元素全为1，而其它元素全为零的矩阵，数学上以III或EEE表示之。
在 Matlab和Numpy 中都用eye()函数来表示，而 Numpy 中还提供了identity()函数来专门生成方阵。
在 Matlab 中，eye(m,n)表示单位矩阵，其中mmm为行数，nnn为列数，若为方阵，则以eye(n)表示。
在 Numpy 中，numpy.eye(N, M=None, k=0, dtype=float, order='C')函数返回一个对角线上为1，其它地方为零的单位数组。numpy.identity(n, dtype=None)函数则返回一个方的单位数组。
【例1】求4行4列的单位矩阵。
Matlab：
>> I=eye(4);
>> disp(I)1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1
Python：
import numpy as npI = np.eye(4)
print(I)
# [[1. 0. 0. 0.]
# [0. 1. 0. 0.]
# [0. 0. 1. 0.]
# [0. 0. 0. 1.]]A = np.identity(4)
print(A)
# [[1. 0. 0. 0.]
# [0. 1. 0. 0.]
# [0. 0. 1. 0.]
# [0. 0. 0. 1.]]
【例2】求3行4列的单位矩阵。
Matlab：
>> I=eye(3,4);
>> disp(I)1 0 0 00 1 0 00 0 1 0
Python：
import numpy as npI = np.eye(3, 4)
print(I)
# [[1. 0. 0. 0.]
# [0. 1. 0. 0.]
# [0. 0. 1. 0.]]
4. 对角矩阵
在 Matlab和Numpy 中都用diag()函数来表示，并且含义相同。
若书写格式为X=diag(v,k)。将向量vvv写入矩阵XXX的主对角线上，而矩阵XXX的其它元素为零。kkk表示上移或下移行数，正表示上移，负表示下移，k=0k=0k=0则恰好在主对角线上，当k=0k=0k=0时可以默认不写。
另一种书写格式为v=diag(X,k)。它是从矩阵XXX中提取对角线元素到向量vvv上。k=0k=0k=0或默认，则提取主对角线元素，否则提取上移kkk行或下移kkk行的对角线元素，正号表示上移，负号表示下移。
【例1】已知行向量v=(1 2 3 4)，将vvv向量元素写入矩阵的主对角线，求对角矩阵，以及上移一行的对角矩阵和下移一行的对角矩阵。
Matlab：
>> v=[1,2,3,4];
>> lambda = diag(v);
>> disp(lambda)1 0 0 00 2 0 00 0 3 00 0 0 4>> lambda = diag(v,1);
>> disp(lambda)0 1 0 0 00 0 2 0 00 0 0 3 00 0 0 0 40 0 0 0 0>> lambda = diag(v,-1);
>> disp(lambda)0 0 0 0 01 0 0 0 00 2 0 0 00 0 3 0 00 0 0 4 0
Python：
import numpy as npv = [1, 2, 3, 4]
lamb = np.diag(v)
# print(lamb)
# [[1 0 0 0]
# [0 2 0 0]
# [0 0 3 0]
# [0 0 0 4]]lamb = np.diag(v, k=1)
print(lamb)
# [[0 1 0 0 0]
# [0 0 2 0 0]
# [0 0 0 3 0]
# [0 0 0 0 4]lamb = np.diag(v, k=-1)
print(lamb)
# [[0 0 0 0 0]
# [1 0 0 0 0]
# [0 2 0 0 0]
# [0 0 3 0 0]
# [0 0 0 4 0]]
【例2】
已知u=(2 3 5 8 11)，创建Vandermonde矩阵XXX，提取XXX的主对角线赋予向量vvv，主对角线上移一行赋予向量v1v1v1，下移一行赋予向量v2v2v2。
>> u=[2,3,5,8,11];
>> X=vander(u);
>> disp(X)16 8 4 2 181 27 9 3 1625 125 25 5 14096 512 64 8 114641 1331 121 11 1>> v=diag(X);
>> disp(v)16272581>> v1=diag(X,1)';
>> disp(v1)8 9 5 1>> v2=diag(X,-1)';
>> disp(v2)81 125 64 11
Python：
import numpy as npdef vander(u):n = len(u)a = np.ones([n, n], dtype=np.int)for i in range(n - 2, -1, -1):a[:, i] = u ** (n - i - 1)return au = np.array([2, 3, 5, 8, 11])
X = vander(u)
print(X)
# [[ 16 8 4 2 1]
# [ 81 27 9 3 1]
# [ 625 125 25 5 1]
# [ 4096 512 64 8 1]
# [14641 1331 121 11 1]]v = np.diag(X)
print(v)
# [16 27 25 8 1]v1 = np.diag(X, k=1)
print(v1)
# [8 9 5 1]v2 = np.diag(X, k=-1)
print(v2)
# [ 81 125 64 11]
5. 均匀分布的随机矩阵
在 Matlab和Numpy 中都可以生成均匀分布的随机矩阵。
在 Matlab 中，有rand()，rands()，randi()三种方式：
rand(n)得到一个n×nn \times nn×n的矩阵。rands(n)得到一个n×1n \times 1n×1的列向量。rand(m,n)得到一个由均匀分布在(0,1)区间内元素组成的m×nm \times nm×n的矩阵。rands(m,n)得到一个由均匀分布在(-1,1)区间内元素组成的m×nm \times nm×n的矩阵。randi(iMax，n)是一个由均匀分布在[1，iMax]区间内整型元素组成的n×nn \times nn×n的矩阵。randi(iMax，m，n)是一个由均匀分布在[1，iMax]区间内整型元素组成的m×nm \times nm×n的矩阵。randi([iMin,iMax],m,n)是一个由均匀分布在[iMin，iMax]区间内整型元素组成的m×nm \times nm×n矩阵。
在 Numpy 中，有uniform()，rand()，randint()三种方式：
numpy.random.uniform(low=0.0, high=1.0, size=None)从均匀分布中抽取样本，区间为[low, high)。numpy.random.rand()作为uniform(d0, d1, ..., dn)的特列，可以得到[0,1)之间的均匀分布的随机数。numpy.random.randint(low, high=None, size=None, dtype='l')作为uniform的另一特例，可以得到[low,high)之间均匀分布的随机整数，如果high=None，那么区间为[0,low)。
【例1】求两个4阶在(0,1)范围内的均匀分布的随机矩阵，两个4阶在[1,100]范围内的整型均匀分布的随机数，两个4×1的在(-1,1)范围内的列向量，分别赋值给A1，A2。
Matlab：
>> A1=rand(4);
>> A2=rand(4);
>> disp(A1)0.2232 0.6585 0.3061 0.94720.8876 0.8102 0.2829 0.67460.7311 0.2015 0.4056 0.70160.3146 0.1130 0.8241 0.6380>> disp(A2)0.2420 0.6504 0.2952 0.63280.9741 0.0814 0.3742 0.21570.8539 0.8477 0.7121 0.41150.7950 0.1764 0.6574 0.4196>> A1 = randi(100,4);
>> A2 = randi(100,4);
>> disp(A1)47 56 32 6165 25 94 9383 5 19 9225 76 55 4>> disp(A2)69 86 47 414 84 98 351 80 59 930 81 73 59>> A1=rands(4);
>> A2=rands(4);
>> disp(A1)0.27960.40790.5119-0.9015>> disp(A2)0.7674-0.40590.3743-0.3374
Python：
import numpy as npA1 = np.random.rand(4, 4)
A2 = np.random.rand(4, 4)
print(A1)
# [[0.26928205 0.36481389 0.66676956 0.86820657]
# [0.91229641 0.04239373 0.88579269 0.41331319]
# [0.45072909 0.16651979 0.09096757 0.63638447]
# [0.96256553 0.12203043 0.88213325 0.70119275]]print(A2)
# [[0.99001364 0.59498628 0.18862191 0.24256341]
# [0.1211043 0.32129381 0.9460552 0.05122717]
# [0.63987355 0.61879931 0.31145657 0.32688994]
# [0.73492717 0.43796817 0.9866393 0.93774641]]A1 = np.random.randint(1, 100, [4, 4])
A2 = np.random.randint(1, 100, [4, 4])
print(A1)
# [[ 9 44 72 10]
# [33 89 55 47]
# [77 59 84 83]
# [43 23 86 59]]print(A2)
# [[ 5 89 33 11]
# [21 95 73 92]
# [ 2 55 30 25]
# [54 40 65 83]]A1 = np.random.uniform(-1, 1, 4)
A2 = np.random.uniform(-1, 1, 4)
print(A1.reshape(4, 1))
# [[ 0.93055573]
# # [-0.86806273]
# # [-0.8755103 ]
# # [ 0.54197419]]print(A2.reshape(4, 1))
# [[-0.32703134]
# [ 0.80505337]
# [-0.83637509]
# [ 0.69088863]]
【例2】求三个3×43 \times 43×4阶均匀分布的随机矩阵，范围在(0,1)，(-1,1)和[10,100]，分别赋值给A1，A2，A3。
Matlab：
>> A1=rand(3,4);
>> disp(A1)0.7850 0.5495 0.0590 0.17400.0589 0.5529 0.1722 0.84260.3510 0.1447 0.4489 0.4642>> A2=rands(3,4);
>> disp(A2)-0.3603 -0.5592 0.2269 0.0017-0.4025 -0.7993 -0.8550 0.62550.2765 0.6801 0.4448 -0.2550>> A3 = randi([10,100],3,4);
>> disp(A3)59 66 63 8131 55 50 6315 88 98 34
Python：
import numpy as npA1 = np.random.rand(3, 4)
print(A1)
# [[0.39787012 0.13709285 0.43893989 0.96172473]
# [0.43530643 0.05443109 0.36316048 0.94816304]
# [0.55265213 0.60320904 0.24952952 0.83926361]]A2 = np.random.uniform(-1, 1, [3, 4])
print(A2)
# [[ 0.32297696 -0.78124371 -0.39123924 0.24991417]
# [ 0.85884802 -0.23765347 0.56611597 0.90097203]
# [-0.72628246 -0.10791575 -0.11244534 0.40308801]]A3 = np.random.randint(10, 100, [3, 4])
print(A3)
# [[29 53 65 89]
# [10 77 44 33]
# [28 85 35 42]]
【例3】使用种子使得每次随机数相同。
Matlab：
>> s=rng(20200821); % 保存随机数seed
>> disp(s)Type: 'twister'Seed: 20200821State: [625×1 uint32]>> rng(s) % 调用随机数seed
>> A1=rand(4);
>> disp(A1)0.0172 0.6571 0.8932 0.31100.6420 0.8373 0.8906 0.38150.0978 0.8899 0.6041 0.88750.4353 0.7270 0.5803 0.3294>> rng(s)
>> A2=rand(4);
>> disp(A2)0.0172 0.6571 0.8932 0.31100.6420 0.8373 0.8906 0.38150.0978 0.8899 0.6041 0.88750.4353 0.7270 0.5803 0.3294
Python：
import numpy as npnp.random.seed(20200821)
A1 = np.random.rand(4, 4)
print(A1)
# [[0.32452405 0.49496274 0.88643592 0.75054701]
# [0.88940824 0.4339118 0.45194462 0.80973677]
# [0.39462383 0.72057367 0.21335562 0.87752275]
# [0.42963472 0.92526431 0.22639798 0.83541325]]np.random.seed(20200821)
A2 = np.random.rand(4, 4)
print(A2)
# [[0.32452405 0.49496274 0.88643592 0.75054701]
# [0.88940824 0.4339118 0.45194462 0.80973677]
# [0.39462383 0.72057367 0.21335562 0.87752275]
# [0.42963472 0.92526431 0.22639798 0.83541325]]
6. 正态分布的随机矩阵
在 Matlab和Numpy 中都用randn()函数来表示抽取标准正态分布的样本。
注：既然是随机数，无论产生多少个，都只能算是样本，所谓期望，是对样本数量足够多的情况而言的。一般而言，样本数量越大，其均值越接近0，但并不是说就一定为0。
【例1】列出4阶正态分布的随机矩阵。
Matlab：
randn(m,n)产生一个期望为0，标准差为1且服从正态分布的随机矩阵，其中mmm为行数，nnn为列数，若为方阵，则以randn(n)表示。
>> A = randn(4);
>> disp(A)0.5611 -0.6045 -0.0025 -1.1567-1.1985 -0.1034 0.1916 0.6170-1.0359 1.1587 -0.4981 0.0227-0.5967 -1.8604 0.9566 0.8366>> A=randn(100000,1);
>> histogram(A)
Python：
numpy.random.randn(d0, d1, ..., dn)从均值为0，标准差为1的标准正态分布中抽取样本。
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as pltA = np.random.randn(4, 4)
print(A)
# [[-1.6652191 2.57166227 -2.12784124 1.52365121]
# [-1.03609184 -0.32386994 0.45424631 0.58238759]
# [-0.02458478 -1.69242129 0.01512539 0.8165994 ]
# [-0.39558196 -1.62699892 -0.5198507 2.29518816]]A = np.random.randn(100000, 1)
plt.hist(A, bins=20)
plt.show()
总结
以上总结的不一定全，但先有个框架等后面在实践的过程中慢慢补充。今天就到这里吧。See You！
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