树状数组维护区间和的模型及其拓广的简单总结

by wyl8899

树状数组的基本知识已经被讲到烂了，我就不多说了，下面直接给出基本操作的代码。

假定原数组为a[1..n]，树状数组b[1..n]，考虑灵活性的需要，代码使用int *a传数组。

#define lowbit(x) ((x)&(-(x)))int sum(int *a,int x){int s=0;for(;x;x-=lowbit(x))s+=a[x];return s;}void update(int *a,int x,int w){for(;x<=n;x+=lowbit(x))a[x]+=w;}

sum(x)返回原数组[1,x]的区间和，update(x,w)将原数组下标为x的数加上w。

这两个函数使用O(操作数*logn)的时间和O(n)的空间完成单点加减，区间求和的功能。

接下来做一些升级，让树状数组完成区间加减，单点查询的功能。

直接做的话很困难，需要对问题做一些转化。

考虑将原数组差分，即令d[i]=a[i]-a[i-1]，特别地，d[1]=a[1]。

此时a[i]=d[1]+..+d[i]，所以单点查询a[i]实际上就是在求d数组的[1..i]区间和。

而区间[l,r]整体加上k的操作，可以简单地使用d[l]+=k和d[r+1]-=k来完成。

于是，我们用树状数组来维护d[]，就可以解决问题了。

下面再升级一次，完成区间加减，区间求和的功能。

仍然沿用d数组，考虑a数组[1,x]区间和的计算。d[1]被累加了x次，d[2]被累加了x-1次，...，d[x]被累加了1次。

因此得到

sigma(a[i])

=sigma{d[i]*(x-i+1)}

=sigma{ d[i]*(x+1) - d[i]*i }

=(x+1)*sigma(d[i])-sigma(d[i]*i)

所以我们再用树状数组维护一个数组d2[i]=d[i]*i，即可完成任务。

POJ 3468就是这个功能的裸题，下面给出代码。

[请注意我们上面的讨论都假定了a[]初始全是0。如果不是这样呢?下面的程序里给出了一个相对简便的处理办法。]

// POJ 3468   Using BIT#include <cstdio>const int maxn=100010;__int64 a[maxn],b[maxn],c[maxn];int n,m;inline int lowbit(const int &x){return x&(-x);}__int64 query(__int64 *a,int x){__int64 sum=0;while(x){sum+=a[x];x-=lowbit(x);}return sum;}void update(__int64 *a,int x,__int64 w){while(x<=n){a[x]+=w;x+=lowbit(x);}}int main(){int l,r,i;__int64 ans,w;char ch;scanf("%d%d",&n,&m);a[0]=0;for(i=1;i<=n;++i){scanf("%I64d",&a[i]);a[i]+=a[i-1];}while(m--){scanf("%c",&ch);while(ch!='Q' && ch!='C')scanf("%c",&ch);if(ch=='Q'){scanf("%d%d",&l,&r);ans=a[r]-a[l-1]+(r+1)*query(b,r)-l*query(b,l-1)-query(c,r)+query(c,l-1);printf("%I64d\n",ans);}else{scanf("%d%d%I64d",&l,&r,&w);update(b,l,w);update(b,r+1,-w);update(c,l,w*l);update(c,r+1,-(r+1)*w);}}return 0;}

[当a[]初始不全0的时候，我们就只维护后来加上去的部分，查询区间和的时候再补上初始的时候这一段的区间和就可以了。]

======================一维到二维的分割线=========================

接下来到二维树状数组。

先看看sum和update变成什么样子了吧。

inline int gs(int a[maxn][maxn],int x,int y){int s=0,t;for(;x;x-=lowbit(x))for(t=y;t;t-=lowbit(t))s+=a[x][t];return s;}inline void gp(int a[maxn][maxn],int x,int y,int w){int t;for(;x<=n;x+=lowbit(x))for(t=y;t<=m;t+=lowbit(t))a[x][t]+=w;}

gs就是sum，gp就是update，由于需要多次调用的缘故，改成了更短的名字。

单点加减，矩形求和并不难，直接用上面的两段就行了。

需要注意的是矩形的求和怎么求。上面的代码返回的是(1,1)-(x,y)矩形的和。

那么(x1,y1)-(x2,y2)的矩形和由下式给出：

sum(x2,y2)-sum(x1-1,y2)-sum(x2,y1-1)+sum(x1-1,y1-1)

画个图就很好理解了。

对于涉及矩形加减的情形，我们发现一维中的差分的办法在二维的情况用不出来，所以要改一下。思考一下一维中的差分的另外一个含义：d[i]同时也表示d[i..n]的整体增量，d[i]+=k就意味着把d[i]..d[n]全部加上了k。理解了之后就发现这个意义上可以推广到二维，仍假设原矩形初始全为0，以便接下来的叙述。

令a[x,y]表示(x,y)-(n,m)矩形的整体增量，其中(n,m)是边界。

那么(x1,y1)-(x2,y2)矩形整体加k的代码就是

gp(a,x1,y1,w); gp(a,x2+1,y1,-w);gp(a,x1,y2+1,-w); gp(a,x2+1,y2+1,w);

仍然是建议画个图来帮助理解。

至此，矩形加减，单点查询的问题得到了解决。

重头戏在这里，矩形加减，矩形求和。

求原矩形(1,1)-(x,y)的和，结果由下式给出

sigma(i=1..x,j=1..y) a[i,j]*(x-i+1)*(y-j+1)

很好理解吧? 但是这个式子并不是那么容易求和的，展开一下求和的部分得到

a[i,j]* ( (x+1)(y+1) - (x+1)*j - (y+1)*x + i*j )

整个式子就是

(x+1)(y+1)sigma(a[i,j]) - (x+1)sigma(a[i,j]*j) - (y+1)sigma(a[i,j]*i) + sigma(a[i,j]*i*j)

知道怎么处理了吧？如果没有请回去复习一维的处理方法。

令b[i,j]=a[i,j]*i c[i,j]=a[i,j]*j d[i,j]=a[i,j]*i*j

维护a,b,c,d一共四个二维树状数组，问题得到解决。

tyvj p1716就是实现这两个功能的裸题，下面给出完整代码。

// tyvj p1716  using 2D BIT#include<cstdio>#include<cstring>#define lowbit(x) ((x)&(-(x)))const int maxn=2049;int a[maxn][maxn],b[maxn][maxn],c[maxn][maxn],d[maxn][maxn];int n,m;inline int gs(int a[maxn][maxn],int x,int y){int s=0,t;for(;x;x-=lowbit(x))for(t=y;t;t-=lowbit(t))s+=a[x][t];return s;}inline void gp(int a[maxn][maxn],int x,int y,int w){int t;for(;x<=n;x+=lowbit(x))for(t=y;t<=m;t+=lowbit(t))a[x][t]+=w;}inline int sum(int x,int y){return (x+1)*(y+1)*gs(a,x,y)-(y+1)*gs(b,x,y)-(x+1)*gs(c,x,y)+gs(d,x,y);}inline void update(int x1,int y1,int x2,int y2,int w){gp(a,x1,y1,w); gp(a,x2+1,y1,-w);gp(a,x1,y2+1,-w); gp(a,x2+1,y2+1,w);gp(b,x1,y1,w*x1); gp(b,x2+1,y1,-w*(x2+1));gp(b,x1,y2+1,-w*x1); gp(b,x2+1,y2+1,w*(x2+1));gp(c,x1,y1,w*y1); gp(c,x2+1,y1,-w*y1);gp(c,x1,y2+1,-w*(y2+1)); gp(c,x2+1,y2+1,w*(y2+1));gp(d,x1,y1,w*x1*y1); gp(d,x2+1,y1,-w*(x2+1)*y1);gp(d,x1,y2+1,-w*x1*(y2+1)); gp(d,x2+1,y2+1,w*(x2+1)*(y2+1));}int main(){int x1,y1,x2,y2,w;char ch;scanf("%c",&ch);while(ch!='X')scanf("%c",&ch);scanf("%d%d\n",&n,&m);memset(a,0,sizeof(a));memset(b,0,sizeof(b));memset(c,0,sizeof(c));memset(d,0,sizeof(d));while(scanf("%c",&ch)!=EOF){scanf("%d%d%d%d",&x1,&y1,&x2,&y2);if(ch=='L'){scanf("%d\n",&w);update(x1,y1,x2,y2,w);}else{scanf("\n");printf("%d\n",sum(x2,y2)-sum(x1-1,y2)-sum(x2,y1-1)+sum(x1-1,y1-1));}}return 0;}

wy18899

没原文链接，只能写个原创，但是不是我写的

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