【蓝桥杯官网试题 - 算法提高】求最大值（dp，0-1背包）

题干：

问题描述

　　给n个有序整数对ai bi，你需要选择一些整数对使得所有你选定的数的ai+bi的和最大。并且要求你选定的数对的ai之和非负，bi之和非负。

输入格式

　　输入的第一行为n，数对的个数
　　以下n行每行两个整数 ai bi

输出格式

　　输出你选定的数对的ai+bi之和

样例输入

5
-403 -625
-847 901
-624 -708
-293 413
886 709

样例输出

1715

数据规模和约定

　　1<=n<=100
　　-1000<=ai,bi<=1000

时间限制：1.0s 内存限制：256.0MB

解题报告：

不直接计算选定的数的ai+bi的和，而是转化为计算在ai的和一定的情况下尽量使选定的bi的和最大。于是变成为一个01背包问题，ai的值作为物体的重量，bi的值作为该物体的价值。首先过滤掉所有ai和bi均小于0的数对，令dp[i][j]表示前i个数对，选定的ai的和为j的情况下bi的和的最大值，将dp[i][j]初始化为-INF，再将所有已知合法情况初始化：dp[i][a[i]] = b[i]，之后dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j])，若j - a[i]存在，dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - 1][j - a[i]] + b[i])。最后再统一加偏移量ZERO。值得注意的是，这个背包问题虽然也可以优化成一维，但是没必要，如果优化成一维，对于这题代码不会更简练反而会复杂不少，因为这题初始化的时候不能只对二维数组的第一行进行初始化，需要每一行都有一个值进行初始化，所以最好的办法就是直接开二维数组做最朴素的01背包，而且这题空间给的足够大，所以不需要担心MLE的问题。

AC代码：（空间大概78MB）

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<map>
#include<vector>
#include<set>
#include<string>
#include<cmath>
#include<cstring>
#define ll long long
#define pb push_back
#define pm make_pair
using namespace std;
int tot;
int a[101],b[101];
int dp[101][200000 + 5];//截止到第i个，a[i]和为j的情况下，b[i] 的最大值
int zero = 100000;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
int main()
{int n;cin>>n;for(int x,y,i = 1; i<=n; i++) {scanf("%d%d",&x,&y);if(x < 0 && y < 0) continue;a[++tot] = x, b[tot] = y;} for(int i = 0; i<=tot; i++) {for(int j = -100000; j<=100000; j++) {dp[i][j+ zero] = -INF;}}for(int i = 1; i<=tot; i++) {dp[i][a[i]+ zero] = b[i];}for(int i = 2; i<=tot; i++) {for(int j = -100000; j<=100000; j++) {if(dp[i-1][j+ zero] != -INF) dp[i][j+ zero] = max(dp[i][j+zero],dp[i-1][j+ zero]);if(j - a[i] + zero >= 0 && j - a[i] + zero <= 200000) //这句必须加。 dp[i][j+ zero] = max(dp[i][j+ zero] , dp[i-1][j-a[i]+ zero] + b[i]);}}int ans = 0;for(int j = 100000; j>=0; j--) {if(dp[tot][j+ zero] >= 0) ans = max(ans, dp[tot][j+ zero] + j);}printf("%d\n",ans);return 0 ;}

或者这样也可以过：（空间162.9MB）

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<map>
#include<vector>
#include<set>
#include<string>
#include<cmath>
#include<cstring>
#define ll long long
#define pb push_back
#define pm make_pair
using namespace std;
const int MAX = 2e5 + 5;
int tot;
int a[MAX],b[MAX];
int dp[105][400000 + 5];//截止到第i个，a[i]和为j的情况下，b[i] 的最大值
int zero = 100000;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
int main()
{int n;cin>>n;for(int x,y,i = 1; i<=n; i++) {scanf("%d%d",&x,&y);if(x < 0 && y < 0) continue;a[++tot] = x, b[tot] = y;} for(int i = 0; i<=tot; i++) {for(int j = -100000; j<=300000; j++) {//这里变了dp[i][j+ zero] = -INF;}}for(int i = 1; i<=tot; i++) {dp[i][a[i]+ zero] = b[i];}for(int i = 2; i<=tot; i++) {for(int j = -100000; j<=100000; j++) {if(dp[i-1][j+ zero] != -INF) dp[i][j+ zero] = max(dp[i][j+zero],dp[i-1][j+ zero]);if(j - a[i] + zero >= 0 )//这里变了dp[i][j+ zero] = max(dp[i][j+ zero] , dp[i-1][j-a[i]+ zero] + b[i]);}}int ans = 0;for(int j = 100000; j>=0; j--) {if(dp[tot][j+ zero] >= 0) ans = max(ans, dp[tot][j+ zero] + j);}printf("%d\n",ans);return 0 ;}

或者这样：

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<map>
#include<vector>
#include<set>
#include<string>
#include<cmath>
#include<cstring>
#define ll long long
#define pb push_back
#define pm make_pair
using namespace std;
const int MAX = 2e5 + 5;
int tot;
int a[MAX],b[MAX];
int dp[105][400000 + 5];//截止到第i个，a[i]和为j的情况下，b[i] 的最大值
int zero = 100000;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
int main()
{int n;cin>>n;for(int x,y,i = 1; i<=n; i++) {scanf("%d%d",&x,&y);if(x < 0 && y < 0) continue;a[++tot] = x, b[tot] = y;} for(int i = 0; i<=tot; i++) {for(int j = -100000; j<=300000; j++) {dp[i][j+ zero] = -INF;}}dp[0][zero] = 0;
//  for(int i = 1; i<=tot; i++) {
//      dp[i][a[i]+ zero] = b[i];
//  }for(int i = 1; i<=tot; i++) {for(int j = -100000; j<=100000; j++) {if(dp[i-1][j+ zero] != -INF) dp[i][j+ zero] = max(dp[i][j+zero],dp[i-1][j+ zero]);if(j - a[i] + zero >= 0 )dp[i][j+ zero] = max(dp[i][j+ zero] , dp[i-1][j-a[i]+ zero] + b[i]);}}int ans = 0;for(int j = 100000; j>=0; j--) {if(dp[tot][j+ zero] >= 0) ans = max(ans, dp[tot][j+ zero] + j);}printf("%d\n",ans);return 0 ;}

当然，如果你连if(j - a[i] + zero >= 0 )也不想写，那就可以直接ZERO设为200000就行了。

总结：

首先需要知道他和0-1背包还是有区别的，因为0-1背包是可以不初始化成-INF的，但是那样表示的是可以表示的最大价值（因为价值都是正数），所以0可以当成是非法状态。而这个题，必须初始化成-INF，因为这题所谓的“价值”可以是负数，我们需要新设置一个非法状态，并且把唯一一个合法状态设置好dp[0][zero]=0;来方便后面的转移。其实这样说来，就可以改成一维的0-1背包了。

错误代码：

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<map>
#include<vector>
#include<set>
#include<string>
#include<cmath>
#include<cstring>
#define ll long long
#define pb push_back
#define pm make_pair
using namespace std;
const int MAX = 2e5 + 5;
int tot;
int a[MAX],b[MAX];
int dp[400000 + 5];//截止到第i个，a[i]和为j的情况下，b[i] 的最大值
int zero = 100000;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
int main()
{int n;cin>>n;for(int x,y,i = 1; i<=n; i++) {scanf("%d%d",&x,&y);if(x < 0 && y < 0) continue;a[++tot] = x, b[tot] = y;} for(int j = -100000; j<=300000; j++) {dp[j+ zero] = -INF;}dp[zero] = 0;for(int i = 1; i<=tot; i++) {for(int j = 100000; j>=-100000; j--) {if(j - a[i] + zero >= 0) dp[j+ zero] = max(dp[j+ zero] , dp[j-a[i]+ zero] + b[i]);}}int ans = 0;for(int j = 100000; j>=0; j--) {if(dp[j+ zero] >= 0) ans = max(ans, dp[j+ zero] + j);}printf("%d\n",ans);return 0 ;}

但是仔细一想，这样是错误的，因为就地滚动的前提是，后面的数只能用到前面的数，而你这个题，a[i]有正有负，所以可能用到前面的状态也可能用到后面的状态，所以不能优化成一维。

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