leetcode 810. 黑板异或游戏

黑板上写着一个非负整数数组 nums[i] 。Alice 和 Bob 轮流从黑板上擦掉一个数字，Alice 先手。如果擦除一个数字后，剩余的所有数字按位异或运算得出的结果等于 0 的话，当前玩家游戏失败。 (另外，如果只剩一个数字，按位异或运算得到它本身；如果无数字剩余，按位异或运算结果为 0。）

换种说法就是，轮到某个玩家时，如果当前黑板上所有数字按位异或运算结果等于 0，这个玩家获胜。

假设两个玩家每步都使用最优解，当且仅当 Alice 获胜时返回 true。

示例：

输入: nums = [1, 1, 2]
输出: false

解释:
Alice 有两个选择: 擦掉数字 1 或 2。
如果擦掉 1, 数组变成 [1, 2]。剩余数字按位异或得到 1 XOR 2 = 3。那么 Bob 可以擦掉任意数字，因为 Alice 会成为擦掉最后一个数字的人，她总是会输。
如果 Alice 擦掉 2，那么数组变成[1, 1]。剩余数字按位异或得到 1 XOR 1 = 0。Alice 仍然会输掉游戏。

解题思路

奇偶不变

因为ALice和Bob是轮流取数字的，所以如果刚开始的元素个数是偶数个，那么Alice每次取元素时，元素都是偶数。

S^nums[i]=Si

设Si为数组去掉第i个元素以后的异或的结果，S为所有元素异或的结果,即有Si^{nums[i]=S，变形得S}nums[i]=Si

反证法

在数组长度为偶数并且S!=0(因为如果S=0，那么就胜负已经确定了)的情况，假设无论取走的元素是哪个，都有Si=0
即S0=0，S1=0…,等价于S0^S1S2…=0,代入S^nums[i]=Si得

(S^nums[0])^(S^nums[1])^....=0

(S^S...)^(nums[0]^nums[1]....)=0

又因为S为所有元素异或的结果，并且数组长度为偶数，所以有偶数个S，因此

S^S…(奇数个S)=0，即S=0，与S！=0矛盾,所以可以得出无论取走的元素是哪个，都不存在Si=0，也就是说数组长度为偶数的那一方，可以使得另一方永远产生不了剩下元素异或结果为0的情况。

所以Alice要想赢，只需要两种情况

原数组异或的结果是0，因为Alice是先手，所以直接就赢了
原数组的长度为偶数

代码

class Solution {public boolean xorGame(int[] nums) {int res=0;if((nums.length&1)==0) return true;for (int num : nums) {res^=num;}return res==0;}
}