走近分形与混沌(part3)-引领任何科学发展的，从来都是伟大的思想而不是繁琐的公式

学习笔记
学习书目：《蝴蝶效应之谜：走近分形与混沌》-张天蓉;

大自然中的分形

归纳一下前几个Blog对分形的叙述，我们知道分形有如下几个特征：

分形具有自相似性。分形自身可以看成是由许多与自己相似的、大小不一的部分组成。
分形具有无穷多的层次。无论在分形的哪个层次，总能看到有更精细的、下一个层次存在。分形图形有无限细节，可以不断放大，永远都有结构。
分形的维数可以是一个分数。
分形通常可以由一个简单的递归、迭代的方法产生出来。

我们再看几张生活中常见的事物：

由上面这些图片可以看出，这些分形存在于各种各样的大自然产物之中。“云不只是球体，山不只是圆锥，海岸线不是圆形，树皮不是那么光滑，闪电传播的路径更不是直线。它们是什么呢？它们都是简单而又复杂的‘分形’……”

实际上，相比于比较传统的欧几里得几何中所描述的平滑的曲线、曲面而言，分形几何更能反映大自然中存在的许多景象的复杂性。如果说，欧氏几何是用抽象的数学模型对大自然作了一个最粗略的近似，而分形几何则对自然作了更精细的描述。分形是大自然的基本存在形式，无处不在，随处可见。

那么这时，我们可能提出一个问题：我们看到科赫曲线，分形龙和计算机生产出来的分形都是严格自相似的，那么为什么大自然的产物，看起来不那么严格自相似呢？

这是因为，大自然在创造产物时，总会存在些误差，偶然因素过多，大自然不是一台机器。

英国的海岸线有多长

英国的海岸线到底有多长呢？人们可能会不假思索地回答：只要测量得足够精确，总是能得到一个数值吧。答案当然取决于测量的方法及用这些方法测量的结果。但问题在于，如果用不同大小的度量标准来测量，每次会得出完全不同的结果。度量标准的尺度越小，测量出来的海岸线的长度会越长！

也就是说，用以测量海岸线的尺越小，测量出的长度就会越大，并不会趋向收敛于一个有限固定的结果。

事实上，海岸线和科赫曲线很相似。科学家们应用估算分形维数的方法(可能是豪斯多夫维数?)算出了英国海岸线的分形维数，它大约等于1.25。这个数字与科赫曲线的分形维数很接近。因此，英国海岸线是一个分形，任何一段的长度都是无穷。

其他生成分形的方法

除了由简单的线性迭代法生成的分形之外，还有另外两种重要的生成分形的方法：

第一种与随机过程有关，即线性迭代与随机过程相结合，自然界中常见的分形，诸如海岸线、山峰、云彩等，更接近于由随机过程生成的分形。

第二种是用非线性的迭代法，一般而言，最美丽，最令艺术家们着迷的分形大多数是用非线性迭代法产生的。

曼德勃罗集

本华·曼德勃罗（1924－2010）算是美国数学家，虽然他是出生于波兰的立陶宛犹太家庭的后裔，但12岁时就随全家移居巴黎，之后的大半生都在美国度过。他的研究范围非常广泛，他研究过棉花价格、股票涨落、语言中词汇分布等。从物理、天文、地理到经济学、生理学……都有所涉及。曼德勃罗经常自称是个学术界的“游牧民族”。他长期躲在一个不时髦的数学角落里，游荡跋涉在各个貌似不相干的正统学科之间狭隘的巷道中，试图从破碎里找到规律，空集中发现真理。

曼德勃罗用从支离破碎中发现的“分形之美”改变了我们的世界观，他致力于向大众介绍分形理论，使分形的研究成果广为人知。由此，他被誉为20世纪后半叶少有的、影响深远广泛的科学伟人之一。

以数学家曼德勃罗命名的曼德勃罗图便是由非线性迭代方法产生的分形，我们看下面这幅图，图中用黑点表示的点就是曼德勃罗集：

曼德勃罗集可称是人类有史以来做出的最奇异、最瑰丽的几何图形，被称为“上帝的指纹”、“魔鬼的聚合物”。

事实上，这个美丽的图形只出自于一个简单的非线性迭代公式：
Zn+1=Zn2+C(1)Z_{n+1}=Z_n^2 +C \tag{1} Zn+1=Zn2+C(1)

公式(1)中的ZZZ和CCC都是复数。我们知道，每个复数都可以用平面上的一个点来表示：比如，xxx坐标表示实数部分，yyy坐标表示虚数部分。开始时，平面上有两个固定点：CCC和Z0Z_0Z0，Z0Z_0Z0是ZZZ的初始值。为简单起见，我们取Z0＝0Z_0＝0Z0＝0，于是有：Z1＝CZ_1＝CZ1＝C。我们将每次ZZZ的位置用亮点表示。也就是说，开始时平面上原点是亮点，一次迭代后亮点移到CCC。再后，根据公式(1)，我们可以计算Z2Z_2Z2，它应该等于C×C＋CC×C＋CC×C＋C，亮点移动到Z2Z_2Z2。再计算Z3Z_3Z3，Z4Z_4Z4，…，一直算下去。

此时，我们感兴趣的是：如此迭代下去，亮点的位置趋于两种情形中的哪一个？是在有限的范围内转悠呢？还是将会跳到无限远处不见踪影？因为ZZZ的初始值固定在原点，显然，无限迭代时ZZZ的行为取决于复数CCC的数值。

这样，我们便可以得出曼德勃罗集的定义：所有使得无限迭代后的结果能保持有限数值的复数C的集合，构成曼德勃罗集。

我们要注意的是，计算机中的"无限"，并不是真的"无限"。实际上，当迭代次数kkk达到一定的数目时，就当作是无限多次了。判断ZZZ是否保持有限，也是同样的意思。当ZZZ离原点的距离超过某个大数，就算作是无穷远了。

我们现在把曼德勃罗集放大,放大，再放大：

从放大的曼德勃罗集中可以看到，黑点和非黑点混杂在一起，貌似这个曼德勃罗集没有一条明确的界限。

不用担心，曼德勃罗集的边界有着令人吃惊的复杂结构，看不到一条清晰的边界。属于曼德勃罗集合的点和非曼德勃罗集合的点，以很不一般的方式混合在一起，你中有我，我中有你，黑白一点也不分明。这也正是这种分形的特征……

朱利亚集

现在，我们看另一个美妙的图形：

这个图形是啥呢？这个就是对应于曼德勃罗集中某个点的朱利亚集。换句话说，曼德勃罗图形上的每一个不同的点，对应一个不同的朱利亚集，朱利亚集和曼德勃罗集是有密切关系的，它们互为“亲戚”。

我们知道，曼德勃罗图形上的每一个点代表迭代公式(1)中不同的CCC值.因此，给定一个CCC，就能产生一个朱利亚集。的确，朱利亚集是用与曼德勃罗集同样的非线性迭代公式(1)产生的.不同的是，产生曼德勃罗集时，ZZZ的初值固定在原点，用CCC来标识轨道的发散性；而产生朱利亚集时，我们则将CCC值固定，用ZZZ的初始值Z0Z_0Z0来标识轨道的发散性。

从朱利亚集的生成过程可以看出：对应于曼德勃罗集中的每一个点，都有一个朱利亚集。比如说，点击曼德勃罗集上的零点（对应的C值为0），这时候作上述迭代产生的朱利亚集是个单位圆。

下图，显示了曼德勃罗集中不同的点所对应的朱利亚集：

我们了解了美妙的曼德勃罗集和朱利亚集图形的产生过程。这种非线性迭代法产生的分形不仅仅以其神秘复杂、变换多姿受到艺术家们的宠爱，博得数学及计算机爱好者们的青睐，也推动了与此紧密相关的混沌理论及非线性动力学的发展。