走近分形与混沌(part7)--三体与混沌

学习笔记
学习书目：《蝴蝶效应之谜：走近分形与混沌》-张天蓉；

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N体问题
庞加莱与三体问题

N体问题

我们在高中的物理课上都学过著名的开普勒行星运动三大定律。在开普勒总结出三大定律之后，牛顿在开普勒定律的基础上，总结出了经典力学著名的牛顿三大定律。再后来，开普勒走了，牛顿走了，拉普拉斯也走了。几位大师创立了天体力学，但也留下了有关天体运动的种种问题和困难。其中有一个，就是关于太阳系稳定性的问题。

太阳系的稳定性问题早就被牛顿提出。经常有人设想出一些无法挽救的、灾难性的后果。比如说：担心月亮某一天是否会朝地球猛撞过来。拉普拉斯深入研究过这个问题并得出结论，认为太阳系作为整体来说是一个稳定的周期运动系统。然而，拉普拉斯的结论并没有消除人们心中的疑虑。

100多年前的物理学家喜欢计算遵循牛顿万有引力定律而互相吸引的多个天体将如何运动。物理学家们将此类问题称为N体问题。

N体问题的答案，实际上就是欲从数学上来探索太阳系的稳定性。当N＝1时，答案是显而易见的，不受其他任何作用的1个物体，最后将归于静止或匀速直线运动。对于N＝2的情况，也就是二体问题，在牛顿时代就已被基本解决。在解决二体问题上牛顿力学打了大胜仗，但对三体问题的解决却是困难重重，多于三体时的解答，就更是望尘莫及了。

庞加莱与三体问题

昂利·庞加莱被公认是19世纪末和20世纪初的领袖数学家。庞加莱为解决三体问题而发展了数学，这其中蕴涵着庞加莱最重要的创新：把握定性和整体的拓扑思想。

根据牛顿的万有引力定律，我们不难列出三体问题的运动方程，它是含有9个方程的微分方程组。但是，求解这个方程则是难上加难，并不存在一般条件下的精确解。为了解决这个问题，庞加莱首先采取了希尔的办法，即，将此问题简化成了所谓限制性三体问题。

限制性三体问题是三体问题的特殊情况。当所讨论的三个天体中﹐有一个天体的质量与其他两个天体的质量相比﹐小到可以忽略时﹐这样的三体问题称为限制性三体问题。也就是说，我们将小天体对大天体的作用忽略不计，只考虑大天体对小天体的吸引力。如此一简化，原来的9个微分方程组变成了只有3个变量的微分方程组。

但是，即使简化成了3个微分方程，只有3个变量，也仍然无法求出精确解。庞加莱意识到，既然无法求出精确解，就放弃寻找精确解。于是，庞加莱开始定性地研究解的性质。也就是说，从3个微分方程出发，用几何的方法，从整体上设法了解可能存在的各种天体轨道的性质和形态。

因为，小尘埃(小天体)对两个大天体的作用小到可以忽略，所以可以先解决两个大天体的二体问题，再考虑小尘埃的运动。庞加莱需要定性描述的只是小尘埃在大星球1和大星球2的重力吸引下的运动轨迹

庞加莱深入研究小尘埃在所谓同宿轨道和异宿轨道（相当于奇点）附近的行为，但一直没有得到令他满意的结果。他在自己的头脑里构造出了限制性三体问题的某些奇特解的雏形。从解的奇怪行为中，庞加莱看到了当今人们所说的混沌现象。不过，受到当时的经典世界观的局限庞加莱还未能完全理解得到的结果，他只能迷惑而感叹地说了一句：无法画出来的图形的复杂性令我震惊!

庞加莱发现，即使对简化了的限制性三体问题，在同宿轨道或者异宿轨道附近，解的形态会非常复杂，以至于对于给定的初始条件，几乎是没有办法预测当时间趋于无穷时，这个轨道的最终命运。而这种对于轨道的长时间行为的不确定性，这也就是我们现在称之为混沌的现象。