洛谷 2016 战略游戏（树形DP）

题目描述

Bob喜欢玩电脑游戏，特别是战略游戏。但是他经常无法找到快速玩过游戏的办法。现在他有个问题。

他要建立一个古城堡，城堡中的路形成一棵树。他要在这棵树的结点上放置最少数目的士兵，使得这些士兵能了望到所有的路。

注意，某个士兵在一个结点上时，与该结点相连的所有边将都可以被了望到。

请你编一程序，给定一树，帮Bob计算出他需要放置最少的士兵.

输入格式

第一行 N，表示树中结点的数目。

第二行至第N+1行，每行描述每个结点信息，依次为：该结点标号i，k(后面有k条边与结点I相连)。

接下来k个数，分别是每条边的另一个结点标号r1，r2，...，rk。

对于一个n(0<n<=1500)个结点的树，结点标号在0到n-1之间，在输入数据中每条边只出现一次。

输出格式

输出文件仅包含一个数，为所求的最少的士兵数目。

例如，对于如下图所示的树：

       2 /
0---1\3

答案为1（只要一个士兵在结点1上）。

输入输出样例

输入 #1复制

输出 #1复制

【分析】

题目相当于需要求覆盖这颗树需要的最小点数

用 $Dp_{i,0/1}Dpi,0/1$ 表示在这棵树中，以 ii 为根节点的子树在选/不选根节点的情况下，覆盖这棵树所有边需要的最小点数

所以，当不选这个节点 ii 时，则所有以其子节点为根节点的子树都必选根节点

当选择这个节点 ii 时，它能连接到所有的子节点，所以以其子节点为根节点的子树可以选则其根节点，也可以不选

归纳成方程组，可能更容易理解：

$\begin{cases}Son_i\neq \varnothing\\\ \\ \displaystyle Dp_{i,0}=\sum_{j\in Son_i}Dp_{j,1}\\\ \\\displaystyle Dp_{i,1}=1+\sum_{j\in Son_i}min(Dp_{j,0},Dp_{j,1})\end{cases}%u23A9%u23AA%u23AA%u23AA%u23AA%u23AA%u23AA%u23AA%u23AA%u23AA%u23A8%u23AA%u23AA%u23AA%u23AA%u23AA%u23AA%u23AA%u23AA%u23AA%u23A7%u200BSoni%u200B%u2260%u2205 Dpi,0%u200B=j%u2208Soni%u200B%u2211%u200BDpj,1%u200B Dpi,1%u200B=1+j%u2208Soni%u200B%u2211%u200Bmin(Dpj,0%u200B,Dpj,1%u200B)%u200B$

其中，Son_iSoni 为 ii 的子节点集合

显然，边界为

$\begin{cases}Son_i=\varnothing\\Dp_{i,0}=0\\Dp_{i,1}=1\end{cases}%u23A9%u23AA%u23A8%u23AA%u23A7%u200BSoni%u200B=%u2205Dpi,0%u200B=0Dpi,1%u200B=1%u200B$

如果定义 $Son_i=\varnothing Soni%u200B=%u2205$ 时 $\displaystyle \sum_{j\in Son_i}Dp_{j,1}=\sum_{j\in Son_i}min(Dp_{j,0},Dp_{j,1})=0j%u2208Soni%u200B%u2211%u200BDpj,1%u200B=j%u2208Soni%u200B%u2211%u200Bmin(Dpj,0%u200B,Dpj,1%u200B)=0$

递推式及其边界便能写在一起了：

$\begin{cases}\displaystyle Dp_{i,0}=0+\sum_{j\in Son_i}Dp_{j,1}\\\ \\\displaystyle Dp_{i,1}=1+\sum_{j\in Son_i}min(Dp_{j,0},Dp_{j,1})\end{cases}%u23A9%u23AA%u23AA%u23AA%u23AA%u23A8%u23AA%u23AA%u23AA%u23AA%u23A7%u200BDpi,0%u200B=0+j%u2208Soni%u200B%u2211%u200BDpj,1%u200B Dpi,1%u200B=1+j%u2208Soni%u200B%u2211%u200Bmin(Dpj,0%u200B,Dpj,1%u200B)%u200B$

答案看了以上大牛的解析

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<cstring>
using namespace std;
vector <int> edge[1510];
int dp[2][1510],n,x,y,sum[1510],z;
void solve(int u,int fa)
{for(int i=0;i<edge[u].size();i++){int v=edge[u][i];if(v==fa)continue;solve(v,u);dp[0][u]+=dp[1][v];dp[1][u]+=min(dp[1][v],dp[0][v]);}dp[1][u]++;
}
int main()
{cin>>n;for(int i=1;i<=n;i++){cin>>x>>sum[x];for(int i=1;i<=sum[x];i++){cin>>z;edge[x].push_back(z);edge[z].push_back(x);}}solve(0,0);int ans=min(dp[0][0],dp[1][0]);cout<<ans;return 0;
}