出题人来报个到

正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P6860

题目大意

p(a,b)=1p(a,b)=1p(a,b)=1当且经当一只走a∗ba*ba∗b矩形的马可以走到棋盘上任何一个点
求∑a=1n∑b=1np(a,b)\sum_{a=1}^n\sum_{b=1}^np(a,b)a=1∑nb=1∑np(a,b)

解题思路

这个马能走到全图的充要条件显然是它能走到(0,1)(0,1)(0,1)。考虑给出(a,b)(a,b)(a,b)求它能否走到(0,1)(0,1)(0,1)

首先如果gcd(x,y)≠1gcd(x,y)\neq 1gcd(x,y)=1显然不行

因为走的顺序无所谓将走的路程分成两段，一段是(x±a,y±b)(x\pm a,y\pm b)(x±a,y±b)，一段是(x±b,y±b)(x\pm b,y\pm b)(x±b,y±b)。

显然对于第一段能走到的点可以表示为(2ax,2ay)(2ax,2ay)(2ax,2ay)或(2ax+x,2ay+y)(2ax+x,2ay+y)(2ax+x,2ay+y)。第二段同理。

{2ax=2by2cy=2dx+1\left\{\begin{matrix} 2ax=2by \\ 2cy=2dx+1 \end{matrix}\right.{2ax=2by2cy=2dx+1

{2ax+x=2by2cy+y=2dx+1\left\{\begin{matrix} 2ax+x=2by \\ 2cy+y=2dx+1 \end{matrix}\right.{2ax+x=2by2cy+y=2dx+1

{2ax=2by+y2cy=2dx+x+1\left\{\begin{matrix} 2ax=2by+y \\ 2cy=2dx+x+1 \end{matrix}\right.{2ax=2by+y2cy=2dx+x+1

{2ax+x=2by+y2cy+y=2dx+x+1\left\{\begin{matrix} 2ax+x=2by+y \\ 2cy+y=2dx+x+1 \end{matrix}\right.{2ax+x=2by+y2cy+y=2dx+x+1

第一个我们有2(ax−by)=02(ax-by)=02(ax−by)=0且2(cy−dx)=12(cy-dx)=12(cy−dx)=1。因为x,yx,yx,y互质显然(ax−by)(ax-by)(ax−by)和(cy−dx)(cy-dx)(cy−dx)都可以表示成任意整数。所有就有2k=02k=02k=0且2k=12k=12k=1，显然无解。

同理第二个可以推出2k+x=02k+x=02k+x=0且2k+y=12k+y=12k+y=1，就是xxx是偶数，yyy是奇数

第三个推出2k−y=02k-y=02k−y=0且2k−x=12k-x=12k−x=1，就是xxx是奇数，yyy是偶数

第四个是2k+x−y=02k+x-y=02k+x−y=0且2k+y−x=12k+y-x=12k+y−x=1，显然无解

也就是如果x+yx+yx+y是奇数，且gcd(x,y)=1gcd(x,y)=1gcd(x,y)=1那么有p(x,y)=1p(x,y)=1p(x,y)=1，直接可以计算答案，时间复杂度O(n2)O(n^2)O(n2)

定义w(x)w(x)w(x)表示1∼x1\sim x1∼x中与它互质且不是同奇偶的数的个数。若xxx是一个偶数，那么显然没有偶数和它互质那么有w(x)=φ(x)w(x)=\varphi(x)w(x)=φ(x)，若xxx是奇数，那么对于每个偶数yyy和它互质也一定有一个对应的奇数x−yx-yx−y和它互质，那么有w(x)=φ(x)2w(x)=\frac{\varphi(x)}{2}w(x)=2φ(x)。然后求和可以计算答案，时间复杂度O(n)O(n)O(n)

考虑如何用杜教筛优化，我们可以将问题转换为分开求奇数和偶数的φ\varphiφ和，对于每个偶数一定可以被表示为2k(k≤n2)2k(k\leq \frac{n}{2})2k(k≤2n)，那么如何kkk是偶数就有φ(2k)=φ(k)\varphi(2k)=\varphi(k)φ(2k)=φ(k)，如果kkk是奇数就有φ(2k)=2∗φ(k)\varphi(2k)=2*\varphi(k)φ(2k)=2∗φ(k)，也就是如果求出1∼n21\sim \frac{n}{2}1∼2n的奇偶的φ\varphiφ和就可以求出偶数的φ\varphiφ和，然后杜教筛减去求出奇数的，这是一个分治的过程，可以通过本题。

时间复杂度O(n23log⁡n)O(n^{\frac{2}{3}}\log n)O(n32logn)

codecodecode

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<map>
#define ll unsigned long long
using namespace std;
const ll N=1e7+1;
ll T,n,cnt,mu[N],phi[N],pri[N];
ll sp1[N],sp2[N],p1[1100],p2[1100];
bool vis[N];
map<ll,ll> sp,sm;
void prime(){phi[1]=1;for(ll i=2;i<N;i++){if(!vis[i])pri[++cnt]=i,phi[i]=i-1;for(ll j=1;j<=cnt&&pri[j]*i<N;j++){vis[pri[j]*i]=1;if(i%pri[j]==0){phi[i*pri[j]]=phi[i]*pri[j];break;}phi[i*pri[j]]=phi[pri[j]]*phi[i];}}for(ll i=1;i<N;i++){sp1[i]=sp1[i-1]+phi[i]*(i&1);sp2[i]=sp2[i-1]+phi[i]*(!(i&1));}return;
}
ll GetSphi(ll n){if(n<N)return sp1[n]+sp2[n];if(sp[n])return sp[n];ll rest=(n%2ull==0ull)?((ll)n/2ull*(n+1ull)):((ll)(n+1ull)/2ull*n);for(ll l=2ull,r;l<=n;l=r+1ull)r=n/(n/l),rest-=(r-l+1ull)*GetSphi(n/l);return (sp[n]=rest);
}
void dfs(ll x,ll n){p1[x]=p2[x]=0;if(n<N){p1[x]=sp1[n];p2[x]=sp2[n];return;}dfs(x+1,n/2);p2[x]+=p1[x+1]+p2[x+1]*2ull; p1[x]+=GetSphi(n)-p2[x];return;
}
int main()
{prime();scanf("%llu",&T);while(T--){scanf("%llu",&n);dfs(0,n);printf("%llu\n",p1[0]+p2[0]*2ull-1ull);}
}

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