2.3 线性变换引入

线性变换

矩阵乘以向量 Ax=yA\mathbf{x}=\mathbf{y}Ax=y ，可以看成函数，函数输入是向量 x\mathbf{x}x ，输出是向量 y\mathbf{y}y 。线性代数把函数看作变换，向量 x\mathbf{x}x 变换成向量 y\mathbf{y}y ，矩阵 AAA 称为变换矩阵，变换矩阵作为一个整体。 mmm 行 nnn 列矩阵 AAA 记为 AmnA_{mn}Amn ，把 nnn 维向量变换维 mmm 维向量， m、nm、nm、n 是任意自然数。mmm 维向量记为 xm\mathbf{x_m}xm ，这样写的好处是可以看到维度。

定义线性变换设 VnV_nVn , UmU_mUm 分别是 nnn 维和 mmm 维线性空间，TTT 是一个从 VnV_nVn 到 UmU_mUm 的映射，如果映射 TTT 满足：

对任意 v,w∈Vn\mathbf{v}, \mathbf{w}\in V_nv,w∈Vn ，满足 T(v+w)=T(v)+T(w)T(\mathbf{v}+\mathbf{w}) = T(\mathbf{v}) + T(\mathbf{w})T(v+w)=T(v)+T(w) 。
对任意 v∈Vn,λ∈R\mathbf{v}\in V_n,\lambda \in Rv∈Vn,λ∈R ，满足 T(λv)=λT(v)T(\lambda\mathbf{v}) = \lambda T(\mathbf{v})T(λv)=λT(v) 。

TTT 称为从 VnV_nVn 到 UmU_mUm 的线性映射或线性变换。

矩阵变换满足数乘和分配率 A(αv+βw)=αAv+βAwA(\alpha\mathbf{v}+\beta\mathbf{w}) = \alpha A\mathbf{v} + \beta A\mathbf{w}A(αv+βw)=αAv+βAw ，显然满足上面两个条件，所以是线性变换。物理意义是向量组线性组合（ αv+βw\alpha\mathbf{v}+\beta\mathbf{w}αv+βw ）的变换等于变换向量组（ Av,AwA\mathbf{v}, A\mathbf{w}Av,Aw ）的线性组合。由于这个性质，只需要搞清楚基的变换，就可以得出任意向量的变换。

重要性质 令变换矩阵 AmnA_{mn}Amn 把 nnn 维空间中基 V=(v1,⋯,vn)V = (\mathbf{v_1},\cdots,\mathbf{v_n})V=(v1,⋯,vn) ，变换为 mmm 维空间中 nnn 个向量 (w1=Av1,⋯,wn=Avn)(\mathbf{w_1}=A\mathbf{v_1},\cdots,\mathbf{w_n}=A\mathbf{v_n})(w1=Av1,⋯,wn=Avn) ，则 nnn 维空间中任意向量 α1v1+⋯+αnvn\alpha_1\mathbf{v_1}+\cdots+\alpha_n\mathbf{v_n}α1v1+⋯+αnvn ，变换为 mmm 维空间的向量
A(α1v1+⋯+αnvn)=α1Av1+⋯+αnAvn=α1w1+⋯+αnwnA(\alpha_1\mathbf{v_1}+\cdots+\alpha_n\mathbf{v_n}) = \alpha_1A\mathbf{v_1}+\cdots+\alpha_nA\mathbf{v_n} \\ = \alpha_1\mathbf{w_1}+\cdots+\alpha_n\mathbf{w_n} A(α1v1+⋯+αnvn)=α1Av1+⋯+αnAvn=α1w1+⋯+αnwn

如何理解这个关系呢？我们只需要知道空间的基及其对应的变换向量组，则对任意向量，只需其基的表示系数组，就可以获得变换向量，即基变换向量组的线性组合，不需要知道变换矩阵本身！也就是说，变换矩阵由基变换关系 (w1=Av1,⋯,wn=Avn)(\mathbf{w_1}=A\mathbf{v_1},\cdots,\mathbf{w_n}=A\mathbf{v_n})(w1=Av1,⋯,wn=Avn) 唯一决定；或者说，由基变换关系 (w1=Av1,⋯,wn=Avn)(\mathbf{w_1}=A\mathbf{v_1},\cdots,\mathbf{w_n}=A\mathbf{v_n})(w1=Av1,⋯,wn=Avn) 可以得到变换矩阵。基变换关系是理解矩阵的核心！

重要性质 线性变换把线性空间变换为线性空间。

假设线性空间 S(V)S(V)S(V) 由向量组 V=(v1,⋯,vn)V = (\mathbf{v_1},\cdots,\mathbf{v_n})V=(v1,⋯,vn) 张成，则矩阵 AAA 变换后，向量组 VVV 变换成向量组 W=(Av1,⋯,Avn)W=(A\mathbf{v_1},\cdots,A\mathbf{v_n})W=(Av1,⋯,Avn) ，则变换后的空间由向量组 WWW 张成。

如果向量组 VVV 是无关组，变换后的向量组 WWW 一般来说是相关组，甚至可能都变换为 0\mathbf{0}0 向量。只有变换矩阵 AAA 的向量组是无关组时，向量组 WWW 才会是无关组。

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2.3 线性变换引入

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