二维变换

线性变换

缩放变换

反射变换

切变

旋转变换

总结：线性变换

齐次坐标

平移变换

仿射变换

逆变换

变换的组合

变换的分解

补充

三维空间的变换

齐次坐标（三维）

三维变换

缩放

平移

旋转

任意旋转

观测变换

视图变换

投影变换

正交投影

透视投影

主要内容：

二维空间的变换：旋转缩放切变
齐次坐标的概念
把不同变换组合到一起，形成新的变换
三维空间中的变换
观测变换：视图变换投影变换

二维变换

线性变换

缩放变换

反射变换

切变

旋转变换

旋转（默认：绕原点且逆时针方向旋转）

总结：线性变换

平移变换不是线性变换

若能写成如下的形式，则为线性变换，上述的几种变换，都是线性变换：

齐次坐标

引进齐次坐标：平移变换的特殊性

平移变换

--- 不是一个线性变换

引入齐次坐标

点和向量在齐次坐标中的表示：

(x,y,w)表示的所有二维点都是（x/w,y/w,1)

仿射变换

此形式的变换都为仿射变换（即线性变换和平移变换合在一起）

所有的放射变换都可以写成齐次坐标的形式：

逆变换

变换回去的方法是乘以逆矩阵

逆矩阵*原矩阵=单位矩阵

变换的组合

先旋转后平移（从右到左应用）

A1...An 都是3x3的矩阵，既可以从右向左应用也可以把An到A1先进行乘积，合成一个3x3矩阵。

变换的分解

问题：如何沿着任意一个点A旋转？

答：进行变换的分解，即先平移到原点，在绕原点旋转，再平移回去。

补充

在旋转变换中，根据上述推导可得旋转矩阵的逆矩阵==转置矩阵。

（用途：在求旋转矩阵的逆矩阵时，只需求正向旋转矩阵，然后求转置即可）

在数学上，若矩阵的逆矩阵==转置矩阵，则该矩阵是正交矩阵。

三维空间的变换

齐次坐标（三维）

先线性变换再平移

左上角的3x3矩阵代表线性变换最后一行是固定的0001 右边的3x1矩阵代表平移量

三维变换

缩放

平移

旋转

分别绕 x y z旋转

x x y=z

x x z=-y 所以旋转矩阵会有不同

y x z=x

任意旋转

绕轴n旋转任意角度a 先平移到坐标轴 -> 然后旋转 -> 然后平移回去

罗德里格旋转公式：

观测变换

视图变换（相机变换）
投影变换 --正交投影透视投影

MVP变换：Model View Projection

视图变换

约定：相机在原点（0,0,0）往-z方向看，且向上方向是y。

如何变换？先将点移到原点然后将g旋转到-Z方向然后将t旋转到Y方向 g x t旋转到X

先平移

后旋转

由 g t gxt旋转到 -Z Y X有些困难所以考虑逆变换 即由X Y Z 旋转到。。。

旋转矩阵是正交矩阵 旋转矩阵的逆为转置。

所以综上

小总结

模型变换：变换物体的位置。

视口变换：摄像机进行变换，周围物体跟着变换。

所以模型变换和视口变换都应用在了物体上，所以经常统称为模型-视图变换。

投影变换

正交投影透视投影

正交投影不会有近大远小的现象。

透视投影会有近大远小现象。

正交投影

方法：

将z轴坐标忽略不计，将图像放到xy平面上。
将图像放到-1到1的矩形上。

更规范的方法：

先把长方体的中心移到原点。（平移）
把xyz的轴都拉成-1到1。（缩放）

（看的时候沿着-z方向所以在z轴方向上，近大于远。）

透视投影

方法：

将左边的形体挤压成长方体。
按照正交投影方式进行投影。

挤压过程中近平面和远平面的z值不变。

挤压矩阵推导过程：

1. 根据相似三角形

2. 根据近平面上所有点的坐标不变。

3. 远平面中心点坐标不变。

结果

问题：

对于老师在最后留下的问题，z坐标在n ，f之间的点在挤压过程中会怎么变。

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