“ 本文主要讨论线性表在多项式计算中的应用，讨论内容涉及到一元n次多项式在计算机中的表示，及多项式相加运算。”

01

在数学上，一个一元n次多项式可以按照升幂写成

Pn(x)= p0 + p1x + p2x2 + …… + pnxn

它由n+1个系数唯一确定。因此，一个一元n次多项式可以用一个线性表P来表示：

P = (p0，p1，p2，……，pn)

多项式每一项的指数隐含在线性表的序号里。假设Q是另外一个一元m次多项式，同样也可以用线性表Q来表示

Q = (q0，q1，q2，q2，……，qm)

如果m

因此，多项式P和Q相加的结果可以用线性表R表示

R =(p0+ q0，p1+ q1，p2+ q2，……，pm+ qm，pm+1，……，pn)

由此可以看出，一元n次多项式在计算机中可以用线性表来表示，其加法运算也可以在线性表的基础上进行。但在实际应用中，多项式的次数可能很高并且变化很大时，使得线性表最大长度很难确定，特别是在处理类似如下多项式时

T(x)= 12x2 + 2x12000+3x30000

虽然多项式只有3项非零元素，但仍然需要一个长度为30000的线性表来表示，造成对内存空间的浪费。在程序设计中，这种浪费是应当避免的。可以考虑用线性表存储多项式每项系数的同时，也存储相应的指数，这样就可以不用存储多项式的非零项了。

一般情况下，一元n次多项式也可以写成

Pn(x)= p1xe1+ p2xe2 + …… + pmxem

其中，pi是指数为ei项的非零系数，并且满足

0<=e1< e2

因此，若用一个长度为m，且每个元素有两个数据项(系数项和指数项)的线性表，便可唯一确定多项式P(x)

P = ((p1，e1)，(p1，e2)，……，(pm，em))

上面的式子在每项都不为零的情况下，仅只比存储每项系数的方案多存储一倍的数据。但是对于T(x)类的多项式，这种表示将极大节省存储空间。

用线性表存储多项式可以采用两种存储结构，一种是顺序存储结构，一种是链式存储结构。在实际应用中，具体采用什么存储结构，则要视作什么运算而定。一般来说如果仅是求多项式值的运算，宜采用顺序存储结构，当需要修改多项式的系数和值时宜采用链式存储结构。

例如  多项式

P(x)= 12 + 2x3+8x5+11x6

线性表的表示为

P = ((12，0)，(2，3)，(8，5)，(11，6))

一元多项式相加的运算规则非常简单，两个多项式中指数相同的项对应系数相加，若相加的和不为零，则构成相加结果多项式中的一项，所有指数不相同的项均复制到相加结果多项式中。

02

下面用Java语言给出一元多项式表示及加法运算案例。前面讨论过，用线性表存储多项式时，宜采用系数项和指数项同时存储的结构。因此在案例中定义了PolyData类，用于存储多项式的项数据。

package com.milihua.algorithm.lineartable;public class PolyData {   /**     * 多项式系数项     */  public int coef;    /**     * 多项式指数项     */  public int expn;   /**     * 多项式项构造函数     */  PolyData(int coef,int expn){    this.coef = coef;    this.expn = expn;  }  public int getCoef() {    return coef;  }  public void setCoef(int coef) {    this.coef = coef;  }  public int getExpn() {    return expn;  }  public void setExpn(int expn) {    this.expn = expn;  }}

多项式存储采用LinkedList类，LinkedList是一个双向链表，当数据量很大或者操作很频繁的情况下，添加和删除元素时具有比ArrayList更好的性能。

package com.milihua.algorithm.lineartable;import java.util.Iterator;import java.util.LinkedList;import java.util.Scanner;public class Polynomial {  /**   * 存储第一个多项式的链表   */  LinkedList polyListOne = new LinkedList();  /**   * 存储第二个多项式的链表   */  LinkedList polyListTwo = new LinkedList();  /**   * 存储运算结果的多项式链表   */  LinkedList polyListResult = new LinkedList();  /**   * 添加数据到链表尾部   *    * @param inPolyData   * @return   */  public void addLastPol(LinkedList list, PolyData inPolyData) {    list.addLast(inPolyData);  }  /**   * 添加数据到链表   *    * @param inPolyData   * @return   */  public void addPol(LinkedList list, PolyData inPolyData) {    list.add(inPolyData);  }  /**   * 比较每项的指数大小   *    * @param aExpen   * @param bExpn   * @return 0两个指数相等，1第一个链表的指数大，-1第二个链表的指数大   */  public int compExpn(int aExpen, int bExpn) {    if (aExpen == bExpn) {      return 0;    } else if (aExpen > bExpn) {      return 1;    } else {      return -1;    }  }  /**   * 两个多项式链表相加   *    * @return   */  public void addPol() {    for (Iterator iter = polyListOne.iterator(); iter.hasNext();) {      PolyData poly = iter.next();      for (Iterator iterTwo = polyListTwo.iterator(); iterTwo.hasNext();) {        PolyData polyTwo = iterTwo.next();        switch (compExpn(poly.expn, polyTwo.expn)) {        case 0:          PolyData newPolyData = new PolyData(poly.coef + polyTwo.coef, poly.expn);          polyListResult.add(newPolyData);          polyListTwo.remove(polyTwo);          break;        case 1:          polyListResult.add(polyTwo);          polyListResult.add(poly);          polyListTwo.remove(polyTwo);          break;        case -1:          polyListResult.add(poly);          polyListResult.add(polyTwo);          polyListTwo.remove(polyTwo);          break;        }          break;      }    }  }  /**   * 遍历链表并显示出来   *    * @param list   */  public void display(LinkedList list) {    for (Iterator iter = list.iterator(); iter.hasNext();) {      PolyData poly = iter.next();      System.out.print(poly.getCoef() + "x^" + poly.getExpn() + "+");    }    System.out.println();  }  public LinkedList getPolyListOne() {    return polyListOne;  }  public void setPolyListOne(LinkedList polyListOne) {    this.polyListOne = polyListOne;  }  public LinkedList getPolyListTwo() {    return polyListTwo;  }  public void setPolyListTwo(LinkedList polyListTwo) {    this.polyListTwo = polyListTwo;  }  public LinkedList getPolyListResult() {    return polyListResult;  }  public void setPolyListResult(LinkedList polyListResult) {    this.polyListResult = polyListResult;  }}

Polynomial类是案例文件的主要处理类，在类中声明了三个LinkedList类，分别存储第一个多项式、第二个多项式以及两个多项式相加运算的结果。

Polynomial类的addPol()方法用于执行两个多项式的相加运算，具体算法过程是：

(1)遍历第一个多项式；

(2)在遍历过程中，处理每一个单项；

• 遍历第二个多项式；

• 比较两个单项式的指数；

• 若指数相同，则两个单项式的系数相加，并形成新的单项式添加到运算结果列表中；若指数不相同，则两个单项式都添加到运算结果列表中。

addPol算法的执行频率为n*m，n为第一个多项式的单项式个数，m为第二个多项式的单项式个数，其算法复杂度为O(n^2)。

PolynomialTest类为测试类，代码如下：

package unittest;import java.util.Scanner;import com.milihua.algorithm.lineartable.PolyData;import com.milihua.algorithm.lineartable.Polynomial;public class PolynomialTest {  public static void main(String[] args) {    Polynomial  poly = new Polynomial();     //声明Scanner变量，并用new运算符实例化Scanner      Scanner sc = new Scanner(System.in);    System.out.println("----请输入第一个多项式\r\n输入方式为“系数，"        + "指数”\r\n结束请输入0----");    while(true)    {      String  str = sc.next();      if( str.equals("0") )      {        System.out.println("----第一个多项式输入结束----");        break;      }      String[] strArray = str.split(",");      if( strArray.length < 2 )      {        System.out.println("----输入的数据格式错误----");        break;      }      int coef = Integer.parseInt(strArray[0]);      int expn = Integer.parseInt(strArray[1]);      PolyData polyData = new PolyData(coef,expn);      poly.addPol(poly.getPolyListOne(),polyData);    }    poly.display(poly.getPolyListOne());    System.out.println("----请输入第二个多项式\r\n输入方式为“系数，"        + "指数”\r\n结束请输入0----");    while(true)    {      String  str = sc.next();      if( str.equals("0") )      {        System.out.println("----第二个多项式输入结束----");        break;      }      String[] strArray = str.split(",");      if( strArray.length < 2 )      {        System.out.println("----输入的数据格式错误----");        break;      }      int coef = Integer.parseInt(strArray[0]);      int expn = Integer.parseInt(strArray[1]);      PolyData polyData = new PolyData(coef,expn);      poly.addPol(poly.getPolyListTwo(),polyData);    }    poly.display(poly.getPolyListTwo());    poly.addPol();    poly.display(poly.getPolyListResult());  }}

用线性表存储一元多项式时，线性表的元素由两部分组成，一部分用于存储多项式的系数项，一部分用于存储多项式的指数项。这种存储结构对指数项很高且变化很大的多项式特别有用。在存储多项式时，线性表的存储结构可以采用顺序存储结构，也可以采用链式存储结构，推荐使用链式存储结构，存储空间灵活其运算方便。

一元多项式相加的运算规则非常简单，两个多项式中指数相同的项对应系数相加，若相加的和不为零，则构成相加结果多项式中的一项，所有指数不相同的项均复制到相加结果多项式中。多项式加法运算的时间复杂度为O(n)或O(n^2),算法不同，其时间复杂度也不同。本文给出的案例时间复杂度为O(n^2)，时间复杂度为O(n)的算法，请自行给出。

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