847. Shortest Path Visiting All Nodes（三）

DP
　这道题目还可以用动态规划解决。在图论中解决最短路径问题有Dijkstra算法和bellman-ford算法。这道题目也需要用到DP。所以先学习一下这两个算法的思想和区别。
　两个算法比较
　Dijstra算法用来解决单源最短路径问题。具体内容看[文章]

算法	解决问题	适用范围	解决思路	松弛对象
Dijkstra算法	单源最短路径	权重是正的图	贪心	顶点
bellman-ford算法	单源最短路径	图，不可以有负权环路	动态规划	边

ps:虽然我也不明白为什么叫松弛。只知道是不断处理，不断优化的对象。
　之所以做比较是想明白这两个算法有什么区别。以及第二个算法的思想是怎么应用在本题目。
　本题目的DP方案参考链接。
　首先使用Floy算法计算任意两点之间的最短路径。接着使用递归方程dp[i][j] = Math.min(dp[i][j],dp[包含u但是不包含v 的状态][u]+dist[u][v])。

public class ShortestPathVisitingAllNodesDP {private int[][] dis = new int[15][15];private int[][] dp =new int[1<<13][13];public int shortestPathLength(int[][] graph) {int N = graph.length;for (int[] row: dis) Arrays.fill(row, N*N);for (int i=0; i<N; i++) {for (int j=0; j<graph[i].length; j++) {int u = i, v = graph[i][j];dis[u][v] = 1;}}floyd(N);return dp(N);}/*** Floy算法：任意两点之间的最短距离* @param n*/public void floyd(int n) {for(int k=0; k<n; k++)for(int i=0; i<n; i++)for(int j=0; j<n; j++)dis[i][j] = Math.min(dis[i][j], dis[i][k]+dis[k][j]);}private int dp(int n) {for (int[] row: dp) Arrays.fill(row, n*n);for (int i=0; i<n; i++)dp[1<<i][i] = 0;for (int group=1; group<(1<<n); group++)for (int u=0; u<n; u++)for (int v=0; v<n; v++) {int src = 1 << u, dst = 1 << v;//group包含src，但是不包含dstif ((group & src)!=0 && (group & dst)==0 )dp[group|dst][v] = Math.min(dp[group][u] + dis[u][v], dp[group|dst][v]);}int minDis = 0x3f3f3f3f;for (int i=0; i<n; i++)minDis = Math.min(dp[(1<<n)-1][i], minDis);return minDis;}public static void main(String[] args){int[][] graph = new int[4][];graph[0] = new int[]{1,2,3};graph[1] = new int[]{0};graph[2] = new int[]{0};graph[3] = new int[]{0};int r = new ShortestPathVisitingAllNodesDP().shortestPathLength(graph);System.out.println(r);}
}

代码
　
　关于FLoyd算法的介绍参考文章。
　用二维数组记录任意两点之间的距离。dis[i][j]表示从i节点到j节点的距离。如果这两点之间有边，则dis的初始值是边的权重，否则是无穷大。
　如果要让两点之间（例如a，b）的路程变短，那只能引入第三点（k）。如果a->k->b的距离小于a->b的距离，那就引入k。有时候可能需要引入不止一个节点，才能找到ab之间的最短路径：a->k1->k2…->b。每个顶点可能使得另外两个节点路程变短。
　第二步，如果允许在所有节点之间跨越节点1。如果dis[i][1]+dis[1][j]<dis[i][j]dis[i][1]+dis[1][j]<dis[i][j]dis[i][1]+dis[1][j]<dis[i][j],那么dis[i][j]=dis[i][1]+dis[1][j]dis[i][j]=dis[i][1]+dis[1][j]dis[i][j]=dis[i][1]+dis[1][j]。需要用两个for循环实现替换。
　第三步，如果允许在所有节点之间跨越节点1、2。如何做呢？我们需要在只允许经过1号顶点时任意两点的最短路程的结果下，再判断如果经过2号顶点是否可以使得i号顶点到j号顶点之间的路程变得更短。即判断e[i][2]+e[2][j]是否比e[i][j]要小。
　第四步,进一步计算允许跨越节点1，2，3…，一直到节点n。最后的代码就是：

public void floyd(int n) {for(int k=0; k<n; k++)for(int i=0; i<n; i++)for(int j=0; j<n; j++)dis[i][j] = Math.min(dis[i][j], dis[i][k]+dis[k][j]);}

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