【证明】【一题多解】【等价转换】—

1. 组合数的等价转换

递推关系（降低规模）：

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪(nk)=nk(n−1k−1)(nk)=nn−k(n−1k){(nk)=nk(n−1k−1)(nk)=nn−k(n−1k)

\left\{ \begin{split} &\binom{n}{k}=\frac{n}{k}\binom{n-1}{k-1}\\ &\binom{n}{k}=\frac{n}{n-k}\binom{n-1}{k} \end{split} \right.

拆分成两项

(nk)=(n−1k)+(n−1k−1)(nk)=(n−1k)+(n−1k−1)

\binom n k=\binom {n-1} k + \binom {n-1} {k-1}

有如下两种形式的证明：
- 根据组合数的定义（(nk)=n!k!(n−k)!(nk)=n!k!(n−k)!\binom n k=\frac{n!}{k!(n-k)!}），各自展开进行证明；
- 《算法导论》提供了另外的思路，从实际意义出发，(nk)(nk)\binom {n} k 表示 nnn 个对象中选择 k" role="presentation">kkk 个。考虑全体 nnn 个对象中的任意一个（是否被选中），根据其是否在最终选择的 k" role="presentation">kkk 个之中，可将 (nk)(nk)\binom n k 拆分成两项，
  - 在 kkk 中，即从余下的 n−1" role="presentation">n−1n−1n-1 个对象中选择 k−1k−1k-1 个对象：(n−1k−1)(n−1k−1)\binom {n-1}{k-1}
  - 不在 kkk 中，即从余下的 n−1" role="presentation">n−1n−1n-1 个对象中选择 kkk 个对象：(n−1k)" role="presentation">(n−1k)(n−1k)\binom {n-1} k
  因此有：(nk)=(n−1k)+(n−1k−1)(nk)=(n−1k)+(n−1k−1)\binom n k=\binom {n-1} k + \binom {n-1} {k-1}

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