原文链接：http://blog.csdn.net/wang379275614/article/details/13990163

本次结合系统分析师—运筹方法—网络规划技术—关键路径章节，对原文链接描述不准确的地方做了修正。

认识AOE网

　　有向图中，用顶点表示活动，用有向边表示活动之间开始的先后顺序，则称这种有向图为AOV（Activity On Vertex）网络；AOV网络可以反应任务完成的先后顺序（拓扑排序）。

　　在AOV网的边上加上权值表示完成该活动所需的时间，则称这样的AOV网为AOE（Activity On Edge）网，如下图：　

　　图中，顶点表示事件（能被触发，两特征属性：最早发生时间Ve(j);最晚发生时间Vl(j)），边表示活动（能被开始，两特征属性：最早开始时间e(i)；最晚开始时间l(i)），权表示活动持续时间，通常用AOE网来估算工程完成的时间

两条原则：

　　Ø  只有某顶点所代表的事件发生后，从该顶点出发的各活动才能开始

　　Ø  只有进入某顶点的各活动都结束，该顶点所代表的事件才能发生

计算关键路径

　　首先，在AOE网中，从始点到终点具有最大路径长度（该路径上的各个活动所持续的时间之和）的路径为关键路径。

计算关键路径，只需求出上面的四个特征属性，然后取e(i)=l(i)的边即为关键路径上的边（关键路径可能不止一条）。

　　先来看看四个特征属性的含义：

　　Ø Ve(j)：是指从始点开始到顶点Vj的最大路径长度

　　　计算技巧：

　　　(1)从前向后，取大值：直接前驱结点的Ｖe(j)＋到达边（指向顶点的边）的权值，有多个值的取较大者

　　　(2)首结点Ve(j)已知，为0

　　如上图各顶点（事件）的Ve(j)： （从V1开始）

　　Ø  Vl(j)：在不推迟整个工期的前提下，事件vj允许的最晚发生时间

　　　计算技巧：

　　　(1)从后向前，取小值：直接后继结点的Ｖl(j) –发出边（从顶点发出的边）的权值，有多个值的取较小者;

　　　(2)终结点Vl(j)已知，等于它的Ve(j)）

　　如上图各顶点（事件）的Vl(j)： （从V7开始,它的最早、最晚发生时间相同,都为10）：

　　Ø  e(i): 若活动ai由弧<vk,vj>表示，则活动ai的最早开始时间应该等于事件vk的最早发生时间。因而，有：e(i)=ve(k);（即：边（活动）的最早开始时间等于，它的发出顶点的最早发生时间）

如上图各边（活动）的e(i)：

　　Ø  l(i): 若活动ai由弧<vk,vj>表示，则ai的最晚开始时间要保证事件vj的最迟发生时间不拖后。 因而有：l(i)=vl(j)-len<vk,vj>（为边（活动）的到达顶点的最晚发生时间减去边的权值）

如上图各边（活动）的l(i)：

　　至此已介绍完了四个特征属性的求法，也求出了上图中边的e(i)和l(i),取出e(i)=l(i)的边为a1、a2、a4、a8、a9，即为关键路径上的边，所以关键路径有两条：a1 a4 a9和 a2 a8 a9

总结

　　求关键路径，只需理解顶点（事件）和边（活动）各自的两个特征属性以及求法即可：

　　　Ø  先根据首结点的Ve(j)=0由前向后计算各顶点的最早发生时间

　　　Ø  再根据终结点的Vl(j)等于它的Ve(j)由后向前依次求解各顶点的最晚发生时间

　　　Ø  根据边的e(i)等于它的发出顶点的Ve(j)计算各边的最早开始时间（最早开始，对应最早发生）

　　　Ø  根据边的l(i)等于它的到达顶点的Vl(j)减去边的权值计算各边的最晚开始时间（最晚开始，对应最晚发生）