【AOE 网】

在表示一个工程时，用顶点表示事件，用弧表示活动，权值表示活动的持续时间，这样的有向图即为 AOE 网。

其有两个性质：

在顶点表示事件发生之后，从该顶点出发的有向弧所表示的活动才能开始。
在进入某个顶点的有向弧所表示的活动完成之后，该顶点表示的事件才能发生。

对于一个工程来说，只有一个开始状态和一个结束状态，因此在 AOE 网中，只有一个入度为 0 的点表示工程的开始，即源点，也只有一个出度为 0 的点表示工程的结束，即汇点。

AOE 网常用于进行工程管理，其解决的主要问题是：

计算完成整个工程的最短工期
确定关键路径，以找出哪些活动是影响工程进度的关键

【关键路径】

在 AOE 网上，从源点到汇点的具最大路径长度（该路径上行各活动持续时间的和）的路径称为关键路径，关键路径上的活动称为关键活动。

要找出关键路径，就要找出关键活动，即不按期完成就会影响整个工程的活动。

1.事件 vk 的最早发生时间 ve[k]

在保证整个工程完成的前提下，事件最早的开始时间称为事件 vk 的最早发生时间，记作：ve[k]

ve[k] 的大小实际上为从源点开始到顶点 vk 的最大路径长度，那么，求解 ve[k] 可以从源点 ve[1]=0 开始，按照拓扑排序规则递推得到

即有： $ve(k)=max\{ve(j)+len<v_j,v_k>\}(<v_j,v_k>\in p[k])$

其中，len<vj,vk> 是弧 <vj,vk> 上的权值，p[k] 是所有到达 vk 的有向边的集合。

2.事件 vk 的最晚发生时间 vl[k]

在保证整个工程完成的前提下，事件最迟的开始时间称为事件 vk 的最晚发生时间，记作 vl[k]

求解 vl[k] 可以从汇点 vl[n]=ve[n] 开始，向源点递推得到，即有： $vl[k]=min\{ vl[j]-len<v_k,v_j> \}(<v_k,v_j>\in s[k])$

其中，len<vk,vj> 是弧 <vk,vj> 上的权值，s[k] 是所有从 vk 发出的有向边的集合。

3.活动 ai 的最早开始时间 ee[i]

在保证工程顺利完成的基础上，活动 ai 最早的必须开始时间称为活动 ai 的最早开始时间，记作：ee[i]

若活动 ai 是由弧 <vk,vj> 表示，根据 AOE 网的性质，只有事件 vk 发生后，活动 ai 才能开始

那么也就是说，活动 ai 的最早开始时间等于时间 vk 的最早发生时间，即有： $ee[i]=ve[k]$

4.活动 ai 的最晚开始时间 el[i]

在不推迟整个工程完成时间的基础上，活动 ai 最迟的必须开始时间称为活动 ai 的最晚开始时间，记作：el[i]

若活动 ai 是由弧 <vk,vj> 表示，则 ai 的最晚开始时间要保证时间 vj 的最迟发生时间不拖后，即有： $el[i]=vl[j]-len<vk,vj>$

其中，len<vk,vj> 是弧 <vk,vj> 上的权值

5.活动 ai 的松弛时间 el[i]-ee[i]

活动 ai 的最晚开始时间与最早开始时间的差值称为活动 ai 的松弛时间，记作：el[i]-ee[i]

当 el[i]=ee[i] 时，对应的活动 ai 称为关键活动，那些 el[i]>ee[i] 的活动则不是关键活动。

在关键活动确定后，关键活动所在的路径就是关键路径。

【实现】

1.输出关键路径

根据关键路径的定义，依次求出 ve、vl、ee、el，然后比较 ee、el 进行输出

int n,m;
int G[N][N];//邻接矩阵
int in[N];//入度
int ve[N];//事件vk的最早发生时间
int vl[N];//事件vk的最晚发生时间
int ee[N];//活动ai的最早开始时间
int el[N];//活动ai的最晚开始时间
int Stack[N];//栈
struct Edge {int x,y;int dis;Edge(){}Edge(int x,int y,int dis):x(x),y(y),dis(dis){}
}edge[N];
bool vis[N];void getVe(){//求veint cnt=0;for(int i=1;i<=n;i++){int k=-1;for(int j=1;j<=n;j++){if(in[j]==0){Stack[++cnt]=j;k=j;in[j]=-1;break;}}for(int j=1;j<=n;j++){if(G[k][j]!=INF){ve[j]=max(ve[j],ve[k]+G[k][j]);in[j]--;}}}
}
void getVl(){//求vlmemset(vl,INF,sizeof(vl));vl[Stack[n]]=ve[Stack[n]];for(int i=n;i>=1;i--){for(int j=1;j<=n;j++){if(G[Stack[i]][j]!=INF) {vl[Stack[i]]=min(vl[j]-G[Stack[i]][j],vl[Stack[i]]);}}}
}
void getEe(){//求eefor(int i=1;i<=m;i++)ee[i]=ve[edge[i].x];
}
void getEl(){//求elfor(int i=1;i<=m;i++)el[i]=vl[edge[i].y]-edge[i].dis;
}void printEdge(){//以边输出for(int i=1;i<=m;i++)if(ee[i]==el[i])printf("<%d,%d>:%d\n", edge[i].x, edge[i].y, edge[i].dis);
}
void printNode(){//以点输出priority_queue<int,vector<int>,greater<int> > Q;memset(vis,false,sizeof(vis));for(int i=1;i<=m;i++){if(ee[i]==el[i]){int x=edge[i].x;int y=edge[i].y;if(!vis[x]){Q.push(x);vis[x]=true;}if(!vis[y]){Q.push(y);vis[y]=true;}}}while(!Q.empty()){int temp=Q.top();Q.pop();printf("v%d ",temp);}
}
int main() {memset(G,INF,sizeof(G));scanf("%d%d",&n,&m);for(int i=1;i<=m;i++){int x,y,dis;scanf("%d%d%d",&x,&y,&dis);edge[i].x=x;edge[i].y=y;edge[i].dis=dis;G[x][y]=dis;in[y]++;}getVe();getVl();getEe();getEl();printf("以边输出：\n");printEdge();printf("以点输出：\n");printNode();return 0;
}

2.求关键路径长度

由于关键路径是具有最大路径长度的路径，因此直接求有向图的最长路即为关键路径的长度

struct Node{int to,dis;Node(){}Node(int to,int dis):to(to),dis(dis){}
};
int n,m;
int in[N];
vector<Node>G[N];
int dis[N];
void getPath() {queue<int> Q;for(int i=0;i<n;i++){if(in[i]==0){Q.push(i);dis[i]++;}}while(!Q.empty()){int x=Q.front();Q.pop();for(int i=0;i<G[x].size();i++){int y=G[x][i].to;int diss=G[x][i].dis;dis[y]=max(dis[y],dis[x]+diss);if (--in[y]==0)Q.push(y);}}
}
int main() {scanf("%d%d",&n,&m);for(int i=1;i<=m;i++){int x,y,dis;scanf("%d%d%d",&x,&y,&dis);G[x].push_back(Node(y,dis));in[y]++;}getPath();int res=-INF;for(int i=0;i<n;i++)res=max(res,dis[i]);printf("%d\n",res);return 0;
}

【例题】

Instrction Arrangement（HDU-4109）(求关键路径长度)：点击这里

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