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问题描述

随机信号的功率谱估计实现

前置数学原理

维纳辛钦定理

S^BT(ω)=∑m=−MMr^(m)e−jωm,∣M∣≤N−1\hat{S}_{\mathrm{BT}}(\omega)=\sum_{m=-M}^{M} \hat{r}(m) e^{-j \omega m}, \quad|M| \leq N-1 S^BT(ω)=m=−M∑Mr^(m)e−jωm,∣M∣≤N−1

BT法与周期图法估算功率谱

BT法（Blackman-Turkey）：根据卷积公式

r^(m)=1N∑n=0N−1uN(n)uN∗(n−m)=1NuN(m)∗uN∗(−m).\hat{r}(m)=\frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} u_{N}(n) u_{N}^{*}(n-m)=\frac{1}{N} u_{N}(m) * u_{N}^{*}(-m). r^(m)=N1n=0∑N−1uN(n)uN∗(n−m)=N1uN(m)∗uN∗(−m).
得到的估计为一个间接的估计，这是Blackman和Turkey于1958年提出的方法，很古老但是很经典。另一个比较经典的算法是周期图法。

周期图法（Periodogram）：根据帕斯瓦尔定理对上式进行傅里叶变换。得到

S^PER(ω)=1N∣UN(ω)∣2\hat{S}_{\mathrm{PER}}(\omega)=\frac{1}{N}\left|U_{N}(\omega)\right|^{2} S^PER(ω)=N1∣UN(ω)∣2

实际上这两种方法是没有区别的，某种意义上来讲。简单来讲若M = N - 1时，这两种方法是等价的，否则若M << N - 1时，相当于对长度为2N - 1的U(N)做截断处理。截断窗口大小为2M + 1。如下式所示：

r^M(m)=w2M+1(R)(m)r^(m)\hat{r}_{M}(m)=w_{2 M+1}^{(\mathrm{R})}(m) \hat{r}(m) r^M(m)=w2M+1(R)(m)r^(m)

估算功率谱的示例

关键代码：

%% 周期图法
NF = 1024;
Spr = fftshift((1/NF)*abs(fft(un,NF)).^2);
kk = -0.5 + (0:NF-1)*(1/(NF-1));
Spr_norm = 10 * log10(abs(Spr)/max(abs(Spr)));%% BT法
M = 64;
r3 = xcorr(un,M,'biased');
BT = fftshift(fft(r3,NF));
BT_norm = 10 * log10(abs(BT)/max(abs(BT)));

图例分析：

写在最后

这两种方法的总体差距并不大，而且有更多更好的方法供大家使用，毕竟这方法都60多年前的了。性能分析也没具体写，因为涉及的点太数学了，有点枯燥。

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