线代中最基础的两种玩法

@(线性代数)

加法
乘法

由这两种最基础的做法可以发展出许多有意思的解题思路。

以可交换矩阵的论证为例。

可交换矩阵：AB=BA

一般有三类：

单位矩阵，或零矩阵
- AE = BE
- A0 = B0
同阶对角矩阵
可逆矩阵，伴随矩阵
- AB = BA = E
- AA* = A*A = |A|E

值得说明的是，可逆矩阵是互为可逆的才可以交换，不是任意一个同阶的可逆矩阵乘别人就是可交换的。

可交换是一种非常稀缺的性质，不是一般矩阵能有的，物以稀为贵。

回到两种思路中来。

e.g. A，B是n阶方阵。(AB)2=E(AB)^2 = E,则：
A. AB=EAB = E
B. AB=−EAB = -E
C. A2B2=EA^2B^2 = E
D.(BA)2=E(BA)^2 = E

分析：显而易见的正确选项错误。针对乘法重新断句可解。

(AB)2=ABAB=E→A−1=BAB→B−1=ABA

(AB)^2 = ABAB = E \\ \rightarrow A^{-1} = BAB \\ \rightarrow B^{-1} = ABA \\

因此，BABA=E→(BA)2=EBABA = E\rightarrow (BA)^2 = E
当然可以得到：ABAB=E,→(AB)2=EABAB = E,\rightarrow (AB)^2 = E

这个乘法应用不够明显。

举一个乘法的例子：

e.g. A,B均为n阶方阵，且A2=A,B2=B,(A+B)2=A+B,A^2 = A,B^2 = B,(A+B)^2 = A+B,证明AB=0AB = 0

分析：展开：A2+B2+AB+BA=A+BA^2+B^2+AB+BA = A+B

→AB+BA=0\rightarrow AB+BA = 0

成为证明可交换的问题。

怎么想？用两种基本的思路：

加法
乘法

这里么有什么好加减的，用左乘乘，右乘乘来解。

左乘A: AAB+ABA=0→AB+ABA=0AAB + ABA = 0 \rightarrow AB + ABA = 0

右乘以A: ABA+BA2=0→ABA+BA=0ABA+BA^2 = 0\rightarrow ABA+BA = 0

对比可见：AB=BAAB = BA

问题得解。

再看一个加法的例子。

e.g. A,B均为n阶方阵，且AB=A+B.证明A,B可交换。

分析：可以先尝试用乘法，只不过发现问题回环了。回到加法更佳。

AB−A=B→A(B−E)=BAB-A = B \rightarrow A(B-E) = B

下一步需要经验，也可以按照提示原则，想，左边有B-E,右边没有，那么是不是往B-E上靠？

A(B−E)=B−E+E→(A−E)(B−E)=EA(B-E) = B - E + E \rightarrow (A-E)(B-E) = E

得到这个如果不会解读，就白求了。

任何AB = E型的式子，信息量就非常足。

这里表示A−E,B−EA-E,B-E都可逆，互相可逆的就满足可交换了。

不妨交换以后打开：

(B−E)(A−E)=E(B-E)(A-E) = E
→BA−A−B=0\rightarrow BA - A - B = 0

即：BA=A+BBA = A+B

看看题干是：AB=A+BAB = A+B

两个一比较，马上知道：AB=BAAB = BA

到底是用加法或乘法以后才发现了问题的解法还是知道解法了才选用的，都不重要，重要的动手解，试错，再跌倒更正。不是所有问题一眼都能看透的，如果都是这样的问题，那么不会有趣。

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