背包——01背包Bone Collector（hdu2602）

首先说明一下01背包

有一个容量为V的背包，另外有N个物品，每个物品Ni都有其对应的体积Vi和价值Pi

求如何取舍装进背包中使得背包里的总价值P达到最大值

题目看似很像贪心问题，把我们不妨先以贪心的思路解决一下这个问题

每个物品都有其对应的价值与体积，我们将其做比，优先选择其比值较高的物品

设：总容量为100，物品N为3

物品A：容量50 价值9K

物品B：容量40 价值7K

物品C：容量55 价值11K

则贪心的选择顺序为->C->B此时A无法装入，舍弃。虽然只用了95的总容量，但是其价值确实是最大化，看起来似乎没什么不对。

那么我们再看一组数据

物品A：容量50 价值9K

物品B：容量40 价值11K

物品C：容量65 价值19K

假如我们仍以贪心的思路去选择，我们就会发现，即使C的“性价比”很高，但是我们如果选择了他，就无法再装入其他物品，浪费了容量空间，

还不如选择A+B的价值更大。所以，贪心思想解决不了背包的问题。

问题出在哪里了呢？对于每一个物品我们都有装和不装两种选择，对于计算机而言，就像是0和1两种状态一样，所以这类问题我们称之为01背包

我们纠结的地方就在于我们单独去看一个物品（亦或几个物品）的时候我们并不知道他到底选还是不选，我们也无法保证当看过n个物品后，我将以

多少剩余容量去面对接下来未知的物品。

所以，我们必须要把看过n个物品之后，所有容量的情况全部考虑进去。

即：外层循环从1到N，用于遍历N个物品，内层循环从0（我们暂且认为没有容量小于0的物品）到V

即浏览到Ni时，任意一个容量值j的最优价值都计算出来

计算的公式为：当前容量值j如果大于Vi，那么有两种选择——选该物品i，那么当前容量j的价值就变成了j-Vi的最优价值+i的价值，或者是不选择该物品，保留j的价值

即 f(i,j)=max｛f(i-1,Pj),f(i-1,P[j-v[i]]+Pi

可能有一些绕，举个例子说明：还是上面的数据，假设我们考虑到C：

那么对于我每一个容量点（0~100）都要进行是否去物品C的判断，比如说容量50，很明显，装不下，比如说容量90，我要看在我不选物品C之前，我容量80时最大的

价值是多少，如果我选择这个物品C，那么我的价值就是容量为：90-65=25时我能获取的价值再加上物品C本身的价值。

不加C时容量90的价值为A+B=20k ，加C为容量25（没有合适的物品，价值为0）+C的价值=0+19=19k，很显然，选择C是一种不合适的行为。

也就是我们的代码为：

for(i=1;i<=n;i++) //外层循环物品个数
{
for(j=0;j<=v;j++) //内层循环每个容量点
{
if(j-b[i]>=0)
dp[i][j]=fmax(dp[i-1][j],dp[i-1][j-b[i]]+a[i]); //容量大于该物品体积时状态转移方程
else
dp[i][j]=dp[i-1][j]; //容量小于该物品体积，只能舍弃

}
}

想必到此大家应该明白01背包的解决思路了，下面为hdu一道01背包题

题目链接：

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2602

题目描述：和01背包基本意思一样，收集骨头

#include<stdio.h>int dp[1020][1020];
int fmax(int a,int b)
{return a>b?a:b;
}
int main()
{int b[1020];int a[1020];int t,n,i,j,v;scanf("%d",&t);while(t--){ scanf("%d%d",&n,&v);for(i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]);for(i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&b[i]);for(i=1;i<=n;i++){for(j=0;j<=v;j++){if(j-b[i]>=0)dp[i][j]=fmax(dp[i-1][j],dp[i-1][j-b[i]]+a[i]);else dp[i][j]=dp[i-1][j];}}printf("%d\n",dp[n][v]);
}
return 0;
}

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