基于序贯重要性重采样的粒子滤波

重要性采样
- 重要性采样算法
序贯重要性重采样SIR(粒子滤波)
- 重采样过程
Rao-Blackwellized粒子滤波RBPF(混合卡尔曼滤波器MKF)

尽管高斯逼近可以有效的解决许多问题，但当滤波分布为多模型或者某些状态为离散时，高斯逼近将不再适用。

在贝叶斯推理中，主要的推理问题可简化为求解下列后验分布的期望值：
上式通常需要利用数值计算求解，其中在理想的蒙特卡洛逼近中，抽取N\bm{N}N个独立的随机样本x(i)\bm{x^{(i)}}x(i),且有x(i)∼p(x∣y1:T),i=1,⋅⋅⋅,N\bm{x^{(i)}\sim p(x|y_{1:T})}, i=1,\cdot \cdot \cdot, Nx(i)∼p(x∣y1:T),i=1,⋅⋅⋅,N。故期望的表达式为：

重要性采样

在实际的贝叶斯模型中，由于函数比较复杂，难以直接从p(x∣y1:T)\bm{ p(x|y_{1:T})}p(x∣y1:T)获取样本。故采用重要性采样，重重要性分布π(x∣y1:T)\bm{ \pi(x|y_{1:T})}π(x∣y1:T)中获取样本。将原先的积分式构造成函数关于重要性分布的积分式：其中,
则期望值可近似为：
其权值为：

重要性采样算法

已知量测模型p(y1:T∣x)\bm{p(y_{1:T}|x)}p(y1:T∣x)和先验分布p(x)\bm{p(x)}p(x)，后验部分的重要性采样逼近为：
1). 重要性分布中抽取N\bm{N}N个样本：
2). 计算非归一化权值：
归一化权值为：
3). 由此可得g(x)\bm{g(x)}g(x)的后验分布的期望逼近为：
后验概率密度逼近为：
式中，δ(⋅)\bm{\delta(\cdot)}δ(⋅)为狄拉克函数。

序贯重要性重采样SIR(粒子滤波)

其中，序贯重要性采样(SIS)是对重要性采样的一种序列形式，该算法可对一般状态空间模型的滤波分布进行重要性采样。

在序贯序贯重要性采样中，存在大多是粒子的权值为零或者近似为零。这一现象称为粒子退化问题。利用重采样法可以解决粒子退化的问题。

从先验分布中抽取N\bm{N}N个样本x0(i)\bm{x^{(i)}_0}x0(i)：
对所有的 i=1,⋅⋅⋅,N\bm{i = 1, \cdot \cdot \cdot, N}i=1,⋅⋅⋅,N，令 w0(i)=1N\bm{w_0^{(i)}=\frac{1}{N}}w0(i)=N1。
对每个 k=1,⋅⋅⋅,T\bm{k=1, \cdot \cdot \cdot, T}k=1,⋅⋅⋅,T 有：
1). 从重要性分布中抽取xk(i)x_k^{(i)}xk(i):
2). 计算权值：
将权值归一化，使其和为1.
3). 估计有效粒子数，neff\bm{n_{eff}}neff。若有效粒子数过少，则执行重采样。

该算法的性能2依赖于重要性分布π(⋅)\bm{\pi(\cdot)}π(⋅)的选择。重要性分布应满足易于从重要性分布中抽取样本，且能够计算样本点的概率密度为原则。方差最优重要性分布为；
如果最优重要性分布不能直接实现，则可通过进行局部线性化得到。利用扩展卡尔曼滤波EKF，无迹卡尔曼滤波UKF等非线性卡尔曼滤波器，可得到重要性分布。

重采样过程

从离散分布中抽取N个样本来带替旧的样本集。具体参考下链接：
https://www.cnblogs.com/gary-guo/p/6244011.html。

Rao-Blackwellized粒子滤波RBPF(混合卡尔曼滤波器MKF)

其思想是对滤波方程计算解析解，而其他方程用蒙特卡罗采样代替纯采样进行估计。
常见的Rao−Blackwellized\bm{Rao-Blackwellized}Rao−Blackwellized粒子滤波方程是指线性高斯模型条件分布的边缘化滤波：
式中，xk\bm{x_k}xk为状态量，yk\bm{y_k}yk为量测量，uk\bm{u_k}uk为任意未知变量。

滤波步骤：
已知重要性分布序列π(uk∣u0,k−1(i),y1:k)\pi(u_k|u^{(i)}_{0,k-1}, y_{1:k})π(uk∣u0,k−1(i),y1:k)和带权值的样本集

{wk−1(i),uk−1(i),mk−1(i),Pk−1(i):i=1,2,⋅⋅⋅.N}\bm{\{w^{(i)}_{k-1},u^{(i)}_{k-1},m^{(i)}_{k-1},P^{(i)}_{k-1}:i=1,2,\cdot \cdot \cdot.N\}}{wk−1(i),uk−1(i),mk−1(i),Pk−1(i):i=1,2,⋅⋅⋅.N}，

则利用RBPF对量测量yky_kyk进行解算步骤如下：
1). 首先提取潜在变量uk−1(i)\bm{u^{(i)}_{k-1}}uk−1(i)，对每个粒子i=1,2,⋅⋅⋅,Ni=1,2,\cdot \cdot \cdot, Ni=1,2,⋅⋅⋅,N计算出卡尔曼滤波的预测均值和预测协方差：
2). 对每个粒子i=1,2,⋅⋅⋅,Ni=1,2,\cdot \cdot \cdot, Ni=1,2,⋅⋅⋅,N，从相应的重要性分布中提取新的钱潜变量uk(i)\bm{u^{(i)}_k}uk(i):
3). 计算新的权值：
由上始可知，卡尔曼滤波的模型参数是所提取潜在变量uk(i)\bm{u^{(i)}_k}uk(i)的条件分布，且其权值归一化为1；式中，似然项为卡尔曼滤波边缘量测量的似然分布：
4). 根据潜变量uk(i)\bm{u^{(i)}_k}uk(i)，对每个粒子执行卡尔曼滤波更新：
5). 若有效粒子数过少，则执行重采样操作。

RBPF粒子滤波器在每k\bm{k}k个时刻产生一个权值样本集

{wk(i),uk(i),mk(i),Pk(i):i=1,2,⋅⋅⋅.N}\bm{\{w^{(i)}_{k},u^{(i)}_{k},m^{(i)}_{k},P^{(i)}_{k}:i=1,2,\cdot \cdot \cdot.N\}}{wk(i),uk(i),mk(i),Pk(i):i=1,2,⋅⋅⋅.N}，因此函数g(⋅)\bm{g(\cdot)}g(⋅)的期望可近似为：
同理，RBPF也可表述为一下滤波分布的逼近：
在RBPF中使重要性权值方差最小化的重要性分布，即最优重要性分布为
卒。

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