FreeSurfer数据质量指标：欧拉数Euler Number

欧拉数

在代数拓扑中，欧拉示性数（Euler characteristic）是一个拓扑不变量，对于一大类拓扑空间有定义。

其中V,E和F分别是点，边和面的个数。

对于所有和一个球面同胚的多面体，

这就是欧拉公式，翻译成白话就是在一个不和自己交叉的多面体中(和球面球面同胚)，面(Face)的个数，加顶点(Vertice)的个数，减边(Edge)的个数永远等于 2。

例如，对于立方体，我们有6 − 12 + 8 = 2，而对于四面体我们有4 − 6 + 4 = 2。该公式最早由法国数学家笛卡儿于1635年左右证明，但不为人知。后瑞士数学家莱昂哈德·欧拉于1750年独立证明了这个公式。1860年，笛卡儿的工作被发现，此后该公式遂被称为欧拉-笛卡儿公式。

FreeSurfer欧拉数计算原理

Freesurfer将皮层表面用一个有限元素模型表示，使用三角形来覆盖皮层表面。一旦知道每个三角形顶点的xyz，就有可能以面积、距离、曲率和厚度来描述整个皮质表面的特征。

在Freesurfer重建的整个流程(recon-all)中有一个步骤叫做Tessellation，也就是把三角形镶嵌到皮层上，如果图像质量不好就有可能出现holes和handles, 这一步结果保存在?h.orig.nofix文件中，可以在这里计算欧拉数。之后的流程中Freesurfer会对这些Topological Defects进行修复，得到的结果保存在?h.orig文件中。

Freesurfer中计算欧拉数就是将orig.nofix文件中的顶点/边/面的数量带入欧拉公式。另外由于闭可定向曲面的欧拉数还可以通过它们的亏格g来计算：

genus（亏格，这里可以简单的理解成洞

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