SIFT四部曲之——方向角度确定

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这个系列的第三篇博客了，比以往时候来的更晚一些，期间经历了好多事，所以耽搁了分享的进程。Ok回到之前的sift算法的解读中来，这一篇博客主要是对sift算法的第三个步骤进行解读和分析，并给出matlab的代码注释，如有疏漏之处，欢迎指出交流！

上面一篇的博客我们讲到了提取出关键点了，这些关键点这时候是具有以下的特性的：尺度和位置的不变性，此时还缺少角度的不变性，这个步骤便是寻找这些关键点的角度的不变性。而后续的操作基本上都是基于这个角度进行的。

在图像中一个像素点往往是不具有说服力的，同样的一个特征点像素值它也不能代表着具有统计意义的图像特性。所以它的角度确定同样需要统计它周围的像素的一些特征，从而得到我们所需要的角度。每个特征点它有自己所在的高斯图像，也拥有自己的尺度信息，为了关联这些的特性，我们统计的是以该特征点为圆心，以该特征点所在的高斯图像的尺度的1.5倍为半径，该圆内所有的像素作为该特征点的角度的统计支持者。

像素梯度的幅值和幅角的计算公式为：

由此可以得到每一个点的幅值和幅角，但是由于与特征点的距离不同，各个点对特征点的支持也是不一样的，所以离得远的就支持弱一点，离得近的就支持大一点，这里面的权重就要通过一个规则来管理，而这个规则就是高斯滤波，即以特征点为圆心，做一个高斯滤波，给它周围的点加上一个高斯权重。高斯函数的方差当然还是与这个特征点所在的图像层的尺度有关，就是。

计算完各个像素的幅值和幅角，并对幅值进行加权之后，我们要开始计算每一个像素对中心特征点的支持有多大。首先把一个圆周分成36个柱体，每个柱体代表，表示的是为第一个柱体，为第二个柱体，依次类推下去，分成36个柱体。分好柱体之后开始统计工作。具体实行如下：

所有相关的像素点计算出来的幅角对应到各自的柱体中，如一个幅角为，则该点对应的柱体为所代表的的柱体中，对各个柱体中的像素点的幅度进行加权求和，就可得到该特征点角度的分布直方图。

得到了特征点角度的分布直方图，当然是用得到分数最高的那个柱体所代表的的角度来表示该特征点的主方向。有时候一个特征点的角度可能会有好几个角度与峰值相差是比较少的，这样我们就可以用多个角度来辅助说明特征点的角度。我们把这个角度的差值定义为80%，只要大于最大峰值的80%就定为该特征点的辅助方向。

以上便是sift算法第三步的基本过程，这里面还差最后一部分的内容：为了对主方向上的角度进行精确地定位，我们需要根据其左右两个直方图进行插值处理，可以提高角度的精确程度。对于插值有各种各样的算法（数值分析这门课里面介绍了好多，请自行解决），在这里我用的是抛物线插值的方法对角度进行拟合。

抛物线插值：

给定三点，求线性Lagrange插值多项式使得

于是可以得到下式的拟合

Ok，第三步骤完毕！这个步骤完后就可以得到特征点的主方向了。

下面是这一部分的matlab代码：

% 下一步是计算特征点的主方向.
% 在特征点的一个区域内计算其梯度直方图
g = gaussian_filter( 1.5 * absolute_sigma(1,intervals+3) / subsample(1) );
zero_pad = ceil( length(g) / 2 );% 计算高斯金字塔图像的梯度方向和幅值
if interactive >= 1
fprintf( 2, 'Computing gradient magnitude and orientation...\n' );
end
tic;
mag_thresh = zeros(size(gauss_pyr));
mag_pyr = cell(size(gauss_pyr));
grad_pyr = cell(size(gauss_pyr));
for octave = 1:octaves
for interval = 2:(intervals+1)% 计算x,y的差分
diff_x = 0.5*(gauss_pyr{octave,interval}(2:(end-1),3:(end))-gauss_pyr{octave,interval}(2:(end-1),1:(end-2)));
diff_y = 0.5*(gauss_pyr{octave,interval}(3:(end),2:(end-1))-gauss_pyr{octave,interval}(1:(end-2),2:(end-1)));% 计算梯度幅值
mag = zeros(size(gauss_pyr{octave,interval}));
mag(2:(end-1),2:(end-1)) = sqrt( diff_x .^ 2 + diff_y .^ 2 );% 存储高斯金字塔梯度幅值
mag_pyr{octave,interval} = zeros(size(mag)+2*zero_pad);
mag_pyr{octave,interval}((zero_pad+1):(end-zero_pad),(zero_pad+1):(end-zero_pad)) = mag;% 计算梯度主方向
grad = zeros(size(gauss_pyr{octave,interval}));
grad(2:(end-1),2:(end-1)) = atan2( diff_y, diff_x );
grad(find(grad == pi)) = -pi;% 存储高斯金字塔梯度主方向
grad_pyr{octave,interval} = zeros(size(grad)+2*zero_pad);
grad_pyr{octave,interval}((zero_pad+1):(end-zero_pad),(zero_pad+1):(end-zero_pad)) = grad;
end
end
clear mag grad
grad_time = toc;
if interactive >= 1
fprintf( 2, 'Gradient calculation time %.2f seconds.\n', grad_time );
end% 下一步是确定特征点的主方向
% 方法：通过寻找每个关键点的子区域内梯度直方图的峰值（注：每个关键点的主方向可以有不止一个）% g = gaussian_filter( 1.5 * absolute_sigma(1,intervals+3) / subsample(1) );
% zero_pad = ceil( length(g) / 2 );
% 将灰度直方图分为36等分，每隔10度一份
num_bins = 36;
hist_step = 2*pi/num_bins;
hist_orient = [-pi:hist_step:(pi-hist_step)];% 初始化关键点的位置、方向和尺度信息
pos = [];
orient = [];
scale = [];% 给关键点确定主方向
if interactive >= 1
fprintf( 2, 'Assigining keypoint orientations...\n' );
end
tic;
for octave = 1:octaves
if interactive >= 1
fprintf( 2, '\tProcessing octave %d\n', octave );
end
for interval = 2:(intervals + 1)
if interactive >= 1
fprintf( 2, '\t\tProcessing interval %d ', interval );
end
keypoint_count = 0;% 构造高斯加权掩模
g = gaussian_filter( 1.5 * absolute_sigma(octave,interval)/subsample(octave) );
hf_sz = floor(length(g)/2);
g = g'*g;loc_pad = zeros(size(loc{octave,interval})+2*zero_pad);
loc_pad((zero_pad+1):(end-zero_pad),(zero_pad+1):(end-zero_pad)) = loc{octave,interval};[iy ix]=find(loc_pad==1);
for k = 1:length(iy)x = ix(k);
y = iy(k);
% % 对其值进行高斯平滑
wght = g.*mag_pyr{octave,interval}((y-hf_sz):(y+hf_sz),(x-hf_sz):(x+hf_sz));
grad_window = grad_pyr{octave,interval}((y-hf_sz):(y+hf_sz),(x-hf_sz):(x+hf_sz));
orient_hist=zeros(length(hist_orient),1);
for bin=1:length(hist_orient)diff = mod( grad_window - hist_orient(bin) + pi, 2*pi ) - pi;orient_hist(bin)=orient_hist(bin)+sum(sum(wght.*max(1 - abs(diff)/hist_step,0)));end% 运用非极大抑制法查找主方向直方图的峰值
peaks = orient_hist;
% rot_right = [ peaks(end); peaks(1:end-1) ];
% rot_left = [ peaks(2:end); peaks(1) ];
% peaks( find(peaks < rot_right) ) = 0;
% peaks( find(peaks < rot_left) ) = 0;% 提取最大峰值的值和其索引位置
[max_peak_val ipeak] = max(peaks);% 将大于等于最大峰值80% 的直方图的也确定为特征点的主方向
peak_val = max_peak_val;
while( peak_val > 0.8*max_peak_val )% 最高峰值最近的三个柱值通过抛物线插值精确得到
A = [];
b = [];
for j = -1:1
A = [A; (hist_orient(ipeak)+hist_step*j).^2 (hist_orient(ipeak)+hist_step*j) 1];bin = mod( ipeak + j + num_bins - 1, num_bins ) + 1;
b = [b; orient_hist(bin)];
end
c = pinv(A)*b;
max_orient = -c(2)/(2*c(1));
while( max_orient < -pi )
max_orient = max_orient + 2*pi;
end
while( max_orient >= pi )
max_orient = max_orient - 2*pi;
end% 存储关键点的位置、主方向和尺度信息
pos = [pos; [(x-zero_pad) (y-zero_pad)]*subsample(octave) ];
orient = [orient; max_orient];
scale = [scale; octave interval absolute_sigma(octave,interval)];
keypoint_count = keypoint_count + 1;% % % 峰值赋0，考察的是下一个峰值，即大于主峰值80%的统计图
peaks(ipeak) = 0;
[peak_val ipeak] = max(peaks);
end
end
if interactive >= 1
fprintf( 2, '(%d keypoints)\n', keypoint_count );
end
end
end
clear loc loc_pad
orient_time = toc;
if interactive >= 1
fprintf( 2, 'Orientation assignment time %.2f seconds.\n', orient_time );
end% 在交互模式下显示关键点的尺度和主方向信息
if interactive >= 2
fig = figure;
clf;
imshow(im);
hold on;
display_keypoints( pos, scale(:,3), orient, 'y' );
% resizeImageFig( fig, size(im), 2 );
fprintf( 2, 'Final keypoints with scale and orientation (2x scale).\nPress any key to continue.\n' );
pause;
close(fig);
end

function hh = display_keypoints( pos, scale, orient, varargin )% 功能：在原始图像上显示特征点
% 输入:
% pos – 特征点的位置矩阵.
% scale –特征点的尺度矩阵.
% orient –特征点的主方向向量.
% 输出:
% hh-返回向量的线句柄.hold on;alpha = 0.33;
beta = 0.33;
autoscale = 1.5;
plotarrows = 1;
sym = '';filled = 0;
ls = '-';
ms = '';
col = '';varin = nargin - 3;while (varin > 0) & isstr(varargin{varin}),vv = varargin{varin};if ~isempty(vv) & strcmp(lower(vv(1)),'f')filled = 1;nin = nin-1;else[l,c,m,msg] = colstyle(vv);if ~isempty(msg), error(sprintf('Unknown option "%s".',vv));endif ~isempty(l), ls = l; endif ~isempty(c), col = c; endif ~isempty(m), ms = m; plotarrows = 0; endif isequal(m,'.'), ms = ''; end % Don't plot '.'varin = varin-1;end
endif varin > 0autoscale = varargin{varin};
endx = pos(:,1);
y = pos(:,2);
u = scale.*cos(orient);
v = scale.*sin(orient);if prod(size(u))==1, u = u(ones(size(x))); end
if prod(size(v))==1, v = v(ones(size(u))); endif autoscale,u = u*autoscale; v = v*autoscale;
endax = newplot;
next = lower(get(ax,'NextPlot'));
hold_state = ishold;x = x(:).'; y = y(:).';
u = u(:).'; v = v(:).';
uu = [x;x+u;repmat(NaN,size(u))];
vv = [y;y+v;repmat(NaN,size(u))];h1 = plot(uu(:),vv(:),[col ls]);if plotarrows,hu = [x+u-alpha*(u+beta*(v+eps));x+u; ...x+u-alpha*(u-beta*(v+eps));repmat(NaN,size(u))];hv = [y+v-alpha*(v-beta*(u+eps));y+v; ...y+v-alpha*(v+beta*(u+eps));repmat(NaN,size(v))];hold onh2 = plot(hu(:),hv(:),[col ls]);
elseh2 = [];
endif ~isempty(ms), hu = x; hv = y;hold onh3 = plot(hu(:),hv(:),[col ms]);if filled, set(h3,'markerfacecolor',get(h1,'color')); end
elseh3 = [];
endif ~hold_state, hold off, view(2); set(ax,'NextPlot',next); endif nargout>0, hh = [h1;h2;h3]; end

得到结果：

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