回溯算法理论基础

1. 什么是回溯法

2. 回溯法的效率

3. 回溯法解决的问题

4. 如何理解回溯法

5. 回溯法模板—— 回溯三部曲

6. 总结

LeetCode77.组合

1. 思路

2. 代码实现

3. 剪枝优化

4. 复杂度分析（？还不确定,待讨论）

5. 思考与收获

回溯算法理论基础

1. 什么是回溯法

回溯法也可以叫做回溯搜索法，它是一种搜索的方式。

在二叉树系列中，我们已经不止一次，提到了回溯，例如**二叉树：以为使用了递归，其实还隐藏着回溯 (opens new window)**。

回溯是递归的副产品，只要有递归就会有回溯。所以以下讲解中，回溯函数也就是递归函数，指的都是一个函数。

2. 回溯法的效率

回溯法的性能如何呢，这里要和大家说清楚了，虽然回溯法很难，很不好理解，但是回溯法并不是什么高效的算法。

因为回溯的本质是穷举，穷举所有可能，然后选出我们想要的答案，如果想让回溯法高效一些，可以加一些剪枝的操作，但也改不了回溯法就是穷举的本质。

那么既然回溯法并不高效为什么还要用它呢？

因为没得选，一些问题能暴力搜出来就不错了，撑死了再剪枝一下，还没有更高效的解法。此时大家应该好奇了，都什么问题，这么牛逼，只能暴力搜索。

3. 回溯法解决的问题

回溯法，一般可以解决如下几种问题：

组合问题：N个数里面按一定规则找出k个数的集合
切割问题：一个字符串按一定规则有几种切割方式
子集问题：一个N个数的集合里有多少符合条件的子集
排列问题：N个数按一定规则全排列，有几种排列方式
棋盘问题：N皇后，解数独等等

相信大家看着这些之后会发现，每个问题，都不简单！

另外，会有一些同学可能分不清什么是组合，什么是排列？

组合是不强调元素顺序的，排列是强调元素顺序。

例如：{1, 2} 和 {2, 1} 在组合上，就是一个集合，因为不强调顺序，而要是排列的话，{1, 2} 和 {2, 1} 就是两个集合了。

记住组合无序，排列有序，就可以了。

4. 如何理解回溯法

回溯法解决的问题都可以抽象为树形结构，是的，我指的是所有回溯法的问题都可以抽象为树形结构！

因为回溯法解决的都是在集合中递归查找子集，集合的大小就构成了树的宽度，递归的深度，都构成的树的深度。

递归就要有终止条件，所以必然是一棵高度有限的树（N叉树）。

这块可能初学者还不太理解，后面的回溯算法解决的所有题目中，我都会强调这一点并画图举相应的例子，现在有一个印象就行。

5. 回溯法模板—— 回溯三部曲

回溯函数模板返回值以及参数

在回溯算法中，我的习惯是函数起名字为backtracking，这个起名大家随意。

回溯算法中函数返回值一般为void；

再来看一下参数，因为回溯算法需要的参数可不像二叉树递归的时候那么容易一次性确定下来，所以一般是先写逻辑，然后需要什么参数，就填什么参数；

但后面的回溯题目的讲解中，为了方便大家理解，我在一开始就帮大家把参数确定下来。

回溯函数伪代码如下：

void backtracking(参数)

回溯函数终止条件

既然是树形结构，那么我们在讲解**二叉树的递归 (opens new window)**的时候，就知道遍历树形结构一定要有终止条件，所以回溯也有要终止条件。

什么时候达到了终止条件，树中就可以看出，一般来说搜到叶子节点了，也就找到了满足条件的一条答案，把这个答案存放起来，并结束本层递归；

所以回溯函数终止条件伪代码如下：

if (终止条件) {存放结果;return;
}

回溯搜索的遍历过程

在上面我们提到了，回溯法一般是在集合中递归搜索，集合的大小构成了树的宽度，递归的深度构成的树的深度；注意图中，我特意举例集合大小和孩子的数量是相等的！

回溯函数遍历过程伪代码如下：

for (选择：本层集合中元素（树中节点孩子的数量就是集合的大小）) {处理节点;backtracking(路径，选择列表); // 递归回溯，撤销处理结果
}

for循环就是遍历集合区间，可以理解一个节点有多少个孩子，这个for循环就执行多少次；backtracking这里自己调用自己，实现递归。

大家可以从图中看出for循环可以理解是横向遍历，backtracking（递归）就是纵向遍历，这样就把这棵树全遍历完了，一般来说，搜索叶子节点就是找的其中一个结果了。

回溯算法模板框架如下：

void backtracking(参数) {if (终止条件) {存放结果;return;}for (选择：本层集合中元素（树中节点孩子的数量就是集合的大小）) {处理节点;backtracking(路径，选择列表); // 递归回溯，撤销处理结果}
}

这份模板很重要，后面做回溯法的题目都靠它了！

6. 总结

本篇我们讲解了，什么是回溯算法，知道了回溯和递归是相辅相成的。

接着提到了回溯法的效率，回溯法其实就是暴力查找，并不是什么高效的算法。

然后列出了回溯法可以解决几类问题，可以看出每一类问题都不简单。

最后我们讲到回溯法解决的问题都可以抽象为树形结构（N叉树），并给出了回溯法的模板。

Reference：代码随想录 (programmercarl.com)

LeetCode77.组合

链接：77. 组合 - 力扣（LeetCode）

1. 思路

本题这是回溯法的经典题目。

直接for循环嵌套的暴力解法

直接的解法当然是使用for循环，例如示例中k为2，很容易想到用两个for循环，这样就可以输出和示例中一样的结果，代码如下：

int n = 4;
for (int i = 1; i <= n; i++) {for (int j = i + 1; j <= n; j++) {cout << i << " " << j << endl;}
}

输入：n = 100, k = 3 那么就三层for循环，代码如下：

int n = 100;
for (int i = 1; i <= n; i++) {for (int j = i + 1; j <= n; j++) {for (int u = j + 1; u <= n; n++) {cout << i << " " << j << " " << u << endl;}}
}

如果n为100，k为50呢，那就50层for循环，是不是开始窒息。此时就会发现虽然想暴力搜索，但是用for循环嵌套连暴力都写不出来！

回溯搜索法怎么做？

回溯搜索法来了，虽然回溯法也是暴力，但至少能写出来，不像for循环嵌套k层让人绝望。那么回溯法怎么暴力搜呢？上面我们说了要解决 n为100，k为50的情况，暴力写法需要嵌套50层for循环，那么回溯法就用递归来解决嵌套层数的问题。

递归来做层叠嵌套（可以理解是开k层for循环），每一次的递归中嵌套一个for循环，那么递归就可以用于解决多层嵌套循环的问题了。此时递归的层数大家应该知道了，例如：n为100，k为50的情况下，就是递归50层。

一些同学本来对递归就懵，回溯法中递归还要嵌套for循环，可能就直接晕倒了！如果脑洞模拟回溯搜索的过程，绝对可以让人窒息，所以需要抽象图形结构来进一步理解。

抽象成图形结构

回溯法解决的问题都可以抽象为树形结构（N叉树），用树形结构来理解回溯就容易多了。

疑问1：为什么取1之后，不是从1,2,3,4中取一个数？

因为组合中的元素不可以重复，1用过之后就不可以再用了；

疑问2：为什么取2之后，不是从1,3,4中取一个数？

因为如果是这样的话，会有一个结果为【2,1】，而前面已经有【1,2】了，组合是无序的，这样会造成重复；

可以看出这个棵树，一开始集合是 1，2，3，4，从左向右取数，取过的数，不在重复取。第一次取1，集合变为2，3，4 ，因为k为2，我们只需要再取一个数就可以了，分别取2，3，4，得到集合[1,2] [1,3] [1,4]，以此类推。

每次从集合中选取元素，可选择的范围随着选择的进行而收缩，调整可选择的范围。图中可以发现n相当于树的宽度，k相当于树的深度。

那么如何在这个树上遍历，然后收集到我们要的结果集呢？

图中每次搜索到了叶子节点，我们就找到了一个结果。相当于只需要把达到叶子节点的结果收集起来，就可以求得 n个数中k个数的组合集合。

2. 代码实现

回溯法三部曲

2.1 递归函数的返回值和参数

在这里要定义两个全局变量，一个用来存放符合条件单一结果，一个用来存放符合条件结果的集合，其实不定义这两个全局变量也是可以的，把这两个变量放进递归函数的参数里，但函数里参数太多影响可读性，所以定义全局变量了。

关于参数；函数里一定有两个参数，既然是集合n里面取k的数，那么n和k是两个int型的参数。然后还需要一个参数，为int型变量startIndex，这个参数用来记录本层递归的中，集合从哪里开始遍历（集合就是[1,...,n] ）

为什么要有这个startIndex呢？

从下图中红线部分可以看出，在集合[1,2,3,4]取1之后，下一层递归，就要在[2,3,4]中取数了，那么下一层递归如何知道从[2,3,4]中取数呢，靠的就是startIndex。所以需要startIndex来记录下一层递归，搜索的起始位置。

class Solution:def combine(self, n: int, k: int) -> List[List[int]]:res=[]  #存放符合条件结果的集合path=[]  #用来存放符合条件结果def backtrack(n,k,startIndex):

2.2 回溯函数终止条件

什么时候到达所谓的叶子节点了呢？

path这个数组的大小如果达到k，说明我们找到了一个子集大小为k的组合了，在图中path存的就是根节点到叶子节点的路径。如图红色部分：

此时用result二维数组，把path保存起来，并终止本层递归。代码如下：

 if len(path) == k:res.append(path[:])return

2.3 单层搜索的过程

回溯法的搜索过程就是一个树型结构的遍历过程，在如下图中，可以看出for循环用来横向遍历，递归的过程是纵向遍历。

如此我们才遍历完图中的这棵树；for循环每次从startIndex开始遍历，然后用path保存取到的节点i；

for i in range(startIndex,n+1):  #后面优化的地方path.append(i)  #处理节点backtrack(n,k,i+1)  #递归path.pop()  #回溯，撤销处理的节点

可以看出backtracking（递归函数）通过不断调用自己一直往深处遍历，总会遇到叶子节点，遇到了叶子节点就要返回。backtracking的下面部分就是回溯的操作了，撤销本次处理的结果。

Example

2.4 完整的代码实现

class Solution:def combine(self, n: int, k: int) -> List[List[int]]:res=[]  #存放符合条件结果的集合path=[]  #用来存放符合条件结果def backtrack(n,k,startIndex):if len(path) == k:res.append(path[:])returnfor i in range(startIndex,n+1):  #优化的地方path.append(i)  #处理节点backtrack(n,k,i+1)  #递归path.pop()  #回溯，撤销处理的节点backtrack(n,k,1)return res

3. 剪枝优化

我们说过，回溯法虽然是暴力搜索，但也有时候可以有点剪枝优化一下的。

在遍历的过程中有如下代码：

for i in range(startIndex,n+1):  #优化的地方path.append(i)  #处理节点backtrack(n,k,i+1)  #递归path.pop()  #回溯，撤销处理的节点

这个遍历的范围是可以剪枝优化的，怎么优化呢？

来举一个例子，n = 4，k = 4的话，那么第一层for循环的时候，从元素2开始的遍历都没有意义了。在第二层for循环，从元素3开始的遍历都没有意义了。

这么说有点抽象，如图所示：

图中每一个节点（图中为矩形），就代表本层的一个for循环，那么每一层的for循环从第二个数开始遍历的话，都没有意义，都是无效遍历。

所以，可以剪枝的地方就在递归中每一层的for循环所选择的起始位置。

如果for循环选择的起始位置之后的元素个数已经不足我们需要的元素个数了，那么就没有必要搜索了。

注意代码中i，就是for循环里选择的起始位置。

for i in range(startIndex,n+1):

接下来看一下优化过程如下：

已经选择的元素个数：len(path)；
还需要的元素个数为: k - len(path);
在集合n中至多要从该起始位置 : n - (k - len(path) )+ 1，开始遍历

为什么有个+1呢，因为包括起始位置，我们要是一个左闭的集合。

举个例子，n = 4，k = 3，目前已经选取的元素为0（path.size为0），n - (k - 0) + 1 即 4 - ( 3 - 0) + 1 = 2。

从2开始搜索都是合理的，可以是组合[2, 3, 4]。这里大家想不懂的话，建议也举一个例子，就知道是不是要+1了。

因为Python中in range是左闭右开的，所以写成n-(k-len(path))+2；所以优化之后的for循环是：

for i in range(startIndex,n-(k-len(path))+2):

优化后整体代码如下：

class Solution:def combine(self, n: int, k: int) -> List[List[int]]:res=[]  #存放符合条件结果的集合path=[]  #用来存放符合条件结果def backtrack(n,k,startIndex):if len(path) == k:res.append(path[:])return**for i in range(startIndex,n-(k-len(path))+2)**:  #优化的地方path.append(i)  #处理节点backtrack(n,k,i+1)  #递归path.pop()  #回溯，撤销处理的节点backtrack(n,k,1)return res

4. 复杂度分析（？还不确定,待讨论）

时间复杂度：O(Cnk*k）

总共的组合是N个元素里面取K个的组合问题，一共有Cnk个答案，然后，每个答案是一个长度为K的数组，每个元素加进去都是O(1）的操作，一共有K个就是O(K），所以是O(Cnk*k）；

空间复杂度：O(K)

空间复杂度是除了要返回的数据结构之外所用的空间，包括递归使用栈空间，递归的深度就为K层，临时数组path 的空间代价，长度也不超过K，为O(K）；

5. 思考与收获

还记得给出的回溯法模板么？如下：

void backtracking(参数) {if (终止条件) {存放结果;return;}for (选择：本层集合中元素（树中节点孩子的数量就是集合的大小）) {处理节点;backtracking(路径，选择列表); // 递归回溯，撤销处理结果}
}

对比一下本题的代码，是不是发现有点像！ 所以有了这个模板，就有解题的大体方向，不至于毫无头绪。

总结本题：组合问题是回溯法解决的经典问题，我们开始的时候给大家列举一个很形象的例子，就是n为100，k为50的话，直接想法就需要50层for循环。从而引出了回溯法就是解决这种k层for循环嵌套的问题。然后进一步把回溯法的搜索过程抽象为树形结构，可以直观的看出搜索的过程。接着用回溯法三部曲，逐步分析了函数参数、终止条件和单层搜索的过程。

然后对求组合问题的回溯法代码做了剪枝优化，这个优化如果不画图的话，其实不好理解，也不好讲清楚。所以依然是把整个回溯过程抽象为一棵树形结构，然后可以直观的看出，剪枝究竟是剪的哪里。
path 也可以写在函数参数里面，省去回溯这一步，但是背后的思路是一致的，代码如下：

class Solution(object):def combine(self, n, k):global resultresult = []self.traversal(n,k,1,[])return resultdef traversal(self,n,k,startIdx,path):global result# 终止条件if len(path)==k:result.append(path[:])return None # 单层搜索for i in range(startIdx,n-(k-len(path))+2):self.traversal(n,k,i+1,path+[i])

4. 代码中result.append(path)的写法是错误的，这样子是浅拷贝，相当于你append的元素只记录了path的地址，res append的对象是同一个path，如果之后对path进行操作，path.pop()啥的，res里面的东西也会修改，最后应该就是空的。因此这里要用path（[:]) 进行深拷贝；

# 浅拷贝，a和b 都指向同一个地址，为数组[1,2,3]的地址
# 对a操作，相应的b也会变
>>> a= [1,2,3]
>>> b=a
>>> a.pop()
3
>>> a
[1, 2]
>>> b
[1, 2]
>>>
# 深拷贝， 重新在其他地址上创建了一块内存，储存数组[1,2,3]
# 指针b 指向该块新建的内存
# 此时如果修改a ，是不会影响到指针b 所指的元素
>>> a = [1,2,3]
>>> b = a[:]
>>> b
[1, 2, 3]
>>> a.pop()
3
>>> a
[1, 2]
>>> b
[1, 2, 3]
>>>

Reference: 代码随想录 (programmercarl.com)

本篇学习时间大约为4个多小时，初次接触了回溯算法的理论知识，然后利用理论知识做了一道经典的题目，整个分析都很深入，收获很大呀！（求推荐）

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算法训练Day24 | 回溯算法理论基础；LeetCode77.组合（经典的回溯问题）

回溯算法理论基础

1. 什么是回溯法

2. 回溯法的效率

3. 回溯法解决的问题

4. 如何理解回溯法

5. 回溯法模板—— 回溯三部曲

回溯算法模板框架如下：

6. 总结

LeetCode77.组合

1. 思路

2. 代码实现

回溯法三部曲

2.1 递归函数的返回值和参数

2.2 回溯函数终止条件

2.3 单层搜索的过程

2.4 完整的代码实现

3. 剪枝优化

4. 复杂度分析（？还不确定,待讨论）

5. 思考与收获

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