acm-(dp计数)Educational Codeforces Round 97 (Rated for Div. 2) F. Emotional Fishermen

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本题是让计算方案数，考虑如何设计dp的状态，注意到我们需要计数的排列的性质与前若干个元素的最大值有关。不妨先将aaa数组从小到大排个序，然后用dp[i][j]dp[i][j]dp[i][j]表示长度为iii的排列满足最大元素为aja_jaj且符合题目所述性质的方案数。这里分两种情况来计算方案数：
首先我们考虑这个排列末尾的元素是多少，如果是aja_jaj，那么意味着前i−1i-1i−1个元素的最大值的两倍不能超过aja_jaj，不妨枚举这个最大值，假设hjh_jhj表示值的两倍不超过aja_jaj的数的最大下标，那么我们枚举1∼hj1\sim h_j1∼hj的元素作为排列前i−1i-1i−1位置中元素的最大值分别计算方案数即可，其实也就是∑k=1hjdp[i−1][k]\sum_{k=1}^{h_j}dp[i-1][k]∑k=1hjdp[i−1][k]。
然后我们考虑这个排列末尾的元素不是aja_jaj，显然这个元素的两倍还是不能超过aja_jaj，满足这个性质的元素的个数有hjh_jhj个，不过前i−1i-1i−1个位置中会用去i−2i-2i−2个这些元素，故还剩下可选的有hj−(i−2)h_j-(i-2)hj−(i−2)个元素放在排列末尾。而前i−1i-1i−1个元素由于最大值是aja_jaj，那么方案数就是dp[i−1][j]dp[i-1][j]dp[i−1][j]，注意到第iii个位置我们有hj−(i−2)h_j-(i-2)hj−(i−2)种选法，故总共有dp[i−1][j]⋅(hj−i+2)dp[i-1][j]\cdot (h_j-i+2)dp[i−1][j]⋅(hj−i+2)种方案。

结合两种情况我们不难得到dpdpdp方程，也就是dp[i][j]=∑k=1hjdp[i−1][k]+(hj−i+2)⋅dp[i−1][j]dp[i][j]=\sum_{k=1}^{h_j}dp[i-1][k]+(h_j-i+2)\cdot dp[i-1][j]dp[i][j]=∑k=1hjdp[i−1][k]+(hj−i+2)⋅dp[i−1][j]。
注意到前缀和很容易维护，因此O(n2)O(n^2)O(n2)递推便可求出dpdpdp，最后答案是dp[n][n]dp[n][n]dp[n][n]。
初始化的话dp[0][0]=1dp[0][0]=1dp[0][0]=1。

这里给出一份参考代码：

int h[maxn],a[maxn],dp[maxn][maxn],sm[2][maxn];
int main(){int n=rd();FOR(i,1,n+1)a[i]=rd();sort(a+1,a+1+n);FOR(i,1,n+1){int k=lower_bound(a+1,a+1+n,2*a[i])-a;if(k!=n+1)h[k]=i;}FOR(i,1,n+1)h[i]=max(h[i],h[i-1]);FOR(i,0,n+1)sm[1][i]=1;FOR(i,1,n+1){FOR(j,i,n+1){if(h[j]>=i-1)dp[i][j]=sum(sm[i&1][h[j]],1ll*(h[j]-i+2)*dp[i-1][j]%mod);sm[!(i&1)][j]=sum(sm[!(i&1)][j-1],dp[i][j]);}FOR(j,0,n+1)sm[i&1][j]=0;}wrn(dp[n][n]);
}

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