一元三次方程求解matlab_浅谈三次函数的性质及其在高考中的应用

大家好~好久没更新啦，今天继续分享经验~

话说最近在看近年的高考真题时，发现三次函数的题目露脸露得有些频繁啊

事实上，三次函数作为一种较为简单的有理式，它的分析难度要比指数对数容易得多，加之近年来考纲中对“双基”的强调越来越突出，三次函数再次出现在高考题中的概率还是不小的。有鉴于此，今天用这篇文章与大家探讨三次函数的一些性质，并利用这些性质解决几道高考题目。

首先定义域，值域均为

，令考生喜闻乐见的性质。

接着是“伪奇函数”性。即全定义域上的三次函数的图像总有一个中心对称点。

如何证明？很容易。

对于三次函数

，有

显然，由奇函数与图像平移变换的结论可知，对于一般的三次函数，必有对称中心

。事实上，这一点也是三次函数的拐点（二阶导数为零的点，同时是导函数的极值点）。这里用到了三次有理式的配方法，在解决一元三次方程求根问题时仍能派上用场。

最重要的单调性，比较复杂。

首先对

求导，得到

。显然，三次函数的极值点个数与导函数的零点个数有关。

导函数的

。我们一般将其简化为

。

1)当

时，导函数无变号零点，此时

为单调函数。

当

时，

单调递增；当

时，

单调递减。

此时对应的函数图像如下图。

a&gt;0

a&lt;0

特别地，对于函数

，它在原点处的导数值为零，但原点却并非其极值点。这个例子很好地说明了

是

为极值点的必要而非充分条件，这也是绝大多数考生容易犯错误的点。

y=x3的图像

2)当

时，

有两个极值点。

结合导函数的图像不难分析出：

当

时，函数图像为增——减——增的形状；

当

时，函数图像为减——增——减的形状。

a&gt;0

a&lt;0

掌握这些结论将有助于对函数性质的把控，以便进行分类讨论等操作。

最后说一下一元三次方程的求根公式吧。不过实用性不高，就当增加奇怪的知识了吧。

对于一般的一元三次方程

，利用配方法，令

，则方程可化为

的形式。再令

，可得

。这是一个关于

的一元二次方程，可以通过求解后回代得到原方程的三个根。这就是Cardano公式的由来。

当然，一元三次方程至少存在一个实根，至多存在三个实根。这条结论结合图像与代数基本定理便可得出。

还有一些三次恒等式：

算是老生常谈了。三次函数的性质大概就这些了。

下面讲一些例题操练一下。

先看看2018年全国二文科数学的压轴题：

第一小问好办。

时，

，令

，解得

。

结合上面的性质，

在

上单调递增，在

上单调递减。结束。

第二小问，三次函数的

。

若

，结合上述结论可知函数只有一个零点；

若

，则只需让函数的两个极值同号即可保证根的唯一性：

示意图

设两个极值点为

，由于

，韦达定理表明

。

则两个极值的乘积

。

则函数只有唯一零点。证毕。

无独有偶，2019年全国三卷（理科）也出现了三次函数：

第一小问，三次函数

又令

，解得

若

，

在

上单调递增，在

上单调递减。

若

，

在

上单调递增，在

上单调递减。

若

，

在

上单调递增。

第一小问结束。

第二小问结合图像叭。

若

，则在

上

单调递增。此时有

解得

满足条件。

时，我们发现此时

上单调性不确定。有两种情况。

该情况下f(x)示意图

1）若

，则此时

上

单调递减，有

解得

2)若

，由于

为极小值点，则

或者

解得的

值均大于3，显然与小前提矛盾，故此情况不成立。

综上所述，满足条件的

集合有

。完成。

由此可见，高考中三次函数的应用相对来说还是非常的灵活，考察了考生的综合能力与发散思维。

其中，数形结合思想，将函数图形转化为代数语言，以及轮换式的简便计算，都体现了考生的数学素养。这些知识点希望考生们务必熟记于心并灵活运用。

在此，希望考生们能够重视起来，打好自身知识基础，这是高考备考的一本万利之策。

完

2020.4.14

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