P1024 [NOIP2001 提高组] 一元三次方程求解 /1238：一元三次方程求解

# [NOIP2001 提高组] 一元三次方程求解

## 题目描述

有形如：$a x^3 + b x^2 + c x + d = 0$ 这样的一个一元三次方程。给出该方程中各项的系数（$a,b,c,d$ 均为实数），并约定该方程存在三个不同实根（根的范围在 $-100$ 至 $100$ 之间），且根与根之差的绝对值 $\ge 1$。要求由小到大依次在同一行输出这三个实根(根与根之间留有空格)，并精确到小数点后 $2$ 位。

提示：记方程 $f(x) = 0$，若存在 $2$ 个数 $x_1$ 和 $x_2$，且 $x_1 < x_2$，$f(x_1) \times f(x_2) < 0$，则在 $(x_1, x_2)$ 之间一定有一个根。

## 输入格式

一行，$4$ 个实数 $a, b, c, d$。

## 输出格式

一行，$3$ 个实根，从小到大输出，并精确到小数点后 $2$ 位。

## 样例 #1

### 样例输入 #1

```
1 -5 -4 20
```

### 样例输出 #1

```
-2.00 2.00 5.00
```

## 提示

**【题目来源】**

NOIP 2001 提高组第一题

1238：一元三次方程求解

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【题目描述】

形如：ax3+bx2+cx+d=0ax3+bx2+cx+d=0 这样的一个一元三次方程。

给出该方程中各项的系数(a，b，c，da，b，c，d均为实数)，并约定该方程存在三个不同实根(根的范围在−100−100至100100之间)，且根与根之差的绝对值≥11。要求由小到大依次在同一行输出这三个实根(根与根之间留有空格)，并精确到小数点后22位。

【输入】

一行，包含四个实数a，b，c，da，b，c，d，相邻两个数之间用单个空格隔开。

【输出】

一行，包含三个实数，为该方程的三个实根，按从小到大顺序排列，相邻两个数之间用单个空格隔开，精确到小数点后22位。

【输入样例】

1.0 -5.0 -4.0 20.0

【输出样例】

-2.00 2.00 5.00

【算法分析】

这是一道有趣的解方程题。为了便于求解，设方程f（x）=a $x^3$ +b $x^2$ +cx+d=0，设根的值域（-100至100之间）中有x，其左右两边相距0.0005的地方有n和m两个数，即n=x-0.0005，m=x+0.0005。n和m间的距离（0.001）满足精度要求（精确到小数点后2位）。

有两种方法计算f（x）=0的根x：

（1）枚举法

根据根的值域和根与根之间的间距要求（>=1），我们不妨将根的值域扩大100倍（-10000<=x<=10000），依次枚举该区间的每一个整数值x，并在题目要求的精度内设定区间：n= $\frac{x-0.05}{100}$ ，m= $\frac{x+0.05}{100}$ 。若区间端点的函数值f（n）和f（m）异号或者在区间端点n的函数值f（n）=0，则确定 $\frac{x}{100}$ 为f（x）=0的一个根。

由此得出算法：
#include<stdio.h>
#include<iostream>
using namespace std;
double a,b,c,d,n,m;
double f(double x)//计算a*x^3+b*x^2+c*x+d
{return a*x*x*x+b*x*x+c*x+d;
}//f函数
signed main()
{scanf("%lf%lf%lf%lf",&a,&b,&c,&d);for(double i=-10000;i<=10000;i++)//枚举当前根*100的可能范围{n=(i-0.05)/100,m=(i+0.05)/100;//在题目要求的精度内设定区间 if(f(n)*f(m)<0 or f(n)==0)printf("%.2lf ",i/100);//若在区间两端的函数值异号或在n处的函数值为0，则确定i/100为根}return 0;
}
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（2）分治法

枚举根的值域中的每一个整数x（-100<=x<=100）。由于根与根之差的绝对值>=1，因此设定搜索区间[l，r]，其中l=x，r=x+1。

（1）若f（l）=0，则确定l为f（l）的根；

（2）若f（l）*f（r）>0，则确定根x不在区间[l，r]内，设定[r，r+1]为下一个搜索区间；

（3）若f（l）*f（r）<0，则确定根x在区间[l，r]内。

如果确定根在区间[l，r]内的话（f（l）*f（r）<0），如何在该区间找到根的确切位置。采用二分法，将区间[l，r]分成左右两个子区间：左子区间[l，x]和右子区间[x，r]（其中x= $\frac{l+r}{2}$ ）：

若f（l）*f（x）<=0，则确定根在左子区间[l，x]内，将x设为该区间的右指针（r=x），继续对左子区间进行对分；若f（l）*f（x）>0，则确定根在右子区间[x，r]内，将x设为该区间的左指针（l=x），继续对右子区间进行对分；

上述对分过程一直进行到区间的间距满足精度要求为止（r-l<0.001）。此时确定l为f（x）的根。

由此得出算法：
#include<stdio.h>
#include<iostream>
using namespace std;
double a,b,c,d,l,r,mid;
double f(double x)//将x代入函数
{return a*x*x*x+b*x*x+c*x+d;
}
signed main()
{scanf("%lf%lf%lf%lf",&a,&b,&c,&d);for(double i=-100;i<=100;i++)//枚举每一个可能的根{l=i,r=i+1;//确定根的可能区间if(f(l)==0)printf("%.2lf ",l);//若l为根，则输出else if(f(l)*f(r)<0)//若根在区间[l，r]中{while(r-l>=0.001)//若区间[l，r]不满足精度要求，则循环{mid=(l+r)/2;//计算区间[l，r]的中间位置if(f(l)*f(mid)<1)r=mid;//若根在左子区间，则调整右指针else l=mid;//若根在右子区间，则调整左指针}printf("%.2lf ",l);//区间[l，r]满足精度要求，确定l为根}}return 0;
}
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