D. Drunk Passenger（数学概率）

2021 ICPC Asia Taiwan Online Programming Contest

题意

有n个人排队上飞机，我是第n个人，第一个人是醉汉，醉汉不坐自己的位置，占据他人的位置的概率相等。对于剩下的人，如果他的座位没有被占，他会做到自己的座位；否则，他会等概率的坐到空的位置。
问：我的位置（位置n）被占据的概率。

思路

参考题解
醉汉 1 2 3 ··· n - 3 n - 2 自己
以上是n个人：

假设醉汉直接坐到了我的位置pn=1n−1p_n = \frac1{n -1}pn=n−11
假设醉汉坐到了n-2：
那么位于1 ~ n - 3 的人会坐到他们自己的位置，而位于n - 2的人会有两个选择，要是坐到醉汉的位置要么做到我的位置，所以我的位置被占据的概率为pn−2=1n−1×12p_{n - 2} = \frac1{n -1} \times\frac 12pn−2=n−11×21
同理分析醉汉坐到位置 n - 3的时候：
1 ~ n - 4的人按他们自己的位置坐，位置n - 3的人会有三个选择：醉汉的位置，位置n - 2，我的位置。
假设n - 3坐到我的位置，我的位置被占据的概率为 13\frac 1331
假设n - 3坐到醉汉的位置，那么n - 2会坐到他自己的位置，我的位置不会被占据。
假设n - 3坐到n - 2的位置。轮到n - 2时，n - 2有两个选择，我的位置被占据的概率为13×12\frac13 \times\frac 1231×21
综上：醉汉坐到n - 3时，我的位置被占据的概率为：
pn−3=1n−1×(13+0+13×12)=1n−1×12p_{n - 3} = \frac1{n -1} \times(\frac 13 + 0 +\frac13 \times\frac 12) \\= \frac1{n -1} \times\frac 12pn−3=n−11×(31+0+31×21)=n−11×21
醉汉坐到n - 4时,按照上面的分析顺序:(最开始是我的座位，然后依次从前往后分析)
pn−4=1n−1×(14+0+14×12+14×12)=1n−1×12p_{n - 4} = \frac1{n -1} \times(\frac14 + 0 + \frac14 \times \frac 12 + \frac14 \times \frac 12)\\ = \frac1{n -1} \times\frac12pn−4=n−11×(41+0+41×21+41×21)=n−11×21
综上分析可得：
无论醉汉坐到哪里：我的位置被占据的概率始终是12\frac 1221(假设已知醉汉坐到的位置，且醉汉的坐的位置不是我的位置)。与此同时，醉汉在一开始不占据我的位置的情况下有n - 2个选择。
p(我的位置被占据)=1n−1+(n−2)×1n−1×12=n2(n−1)p(我的位置被占据) = \frac1{n -1} +(n - 2)\times \frac1{n-1} \times \frac12 \\= \frac n{2(n - 1)}p(我的位置被占据)=n−11+(n−2)×n−11×21=2(n−1)n

代码

int main()
{int n; cin >> n;cout << setprecision(10) << n * 1.0 / (2 * n - 2) << endl;return 0;
}

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