文章目录

1. 定义
2. 性质
- 2.1 NURBS基函数的性质
- 2.2 NURBS曲线的性质
3. 修改权重
4. 相关算法
- 4.1 节点插入：单点插入
- 4.2 De Boor's Algorithm
5. Rational Bézier Curves
6. Rational Bézier Curves: Conic Sections
7. Circular Arcs and Circles

1. 定义

NURBS（Non Uniform Rational B-spline）曲线通常称为非均匀有理B样条曲线，其数学定义如下:

其中，

Ni,p(u)N_{i,p}(u)Ni,p(u)为ppp次B样条基函数，P0,P1,...,PnP_0, P_1, ..., P_nP0,P1,...,Pn为控制点, U = { u0,u1,...,umu_0, u_1, ..., u_mu0,u1,...,um }为节点向量, w0,w1,..,wnw_0, w_1, .., w_nw0,w1,..,wn代表权重.

推导过程:

容易得到以下结论:

如果所有权重均等于1，NURBS 曲线退化成B样条曲线.

NURBS 曲线是有理曲线.

2. 性质

2.1 NURBS基函数的性质

Ri,p(u)R_{i,p}(u)Ri,p(u)是关于uuu的ppp次有理函数.
如果u∉[ui,ui+p+1)u∉[u_i,u_{i+p+1})u∈/[ui,ui+p+1)，则Ri,p(u)=0R_{i,p}(u)=0Ri,p(u)=0
当u∈[ui,ui+1)u∈[u_i,u_{i+1})u∈[ui,ui+1)时，至多存在p+1p+1p+1个ppp次基函数，即Ri−p,p(u),Ri−p+1,p(u),...,Ri,p(u)R_{i-p,p}(u), R_{i-p+1,p}(u), ..., R_{i,p}(u)Ri−p,p(u),Ri−p+1,p(u),...,Ri,p(u)非0.
当u∈[ui,ui+1)u∈[u_i,u_{i+1})u∈[ui,ui+1)时，∑j=i−piRj,p(u)=0\sum\limits_{j=i-p}^{i}R_{j,p}(u)=0j=i−p∑iRj,p(u)=0.
如果节点数量为m+1m+1m+1，B样条基函数的次数为ppp，个数为n+1n+1n+1，则m=n+1+pm=n+1+pm=n+1+p.
基函数Ri,p(u)R_{i,p}(u)Ri,p(u)在kkk重节点uuu处Cp−kC^{p-k}Cp−k连续.
如果对所有的iii，均有wi=cw_i=cwi=c，其中ccc是一个非0常量，则 Ri,p(u)=Ni,p(u)R_{i,p}(u) = N_{i,p}(u)Ri,p(u)=Ni,p(u).

2.2 NURBS曲线的性质

NURBS曲线是次数为ppp的分段有理曲线组合.
m=n+p+1m = n + p + 1m=n+p+1.
Clamped NURBS曲线经过p0p_0p0，pnp_npn两个控制点.
强凸包性:
当u∈[ui,ui+1)u∈[u_i,u_{i+1})u∈[ui,ui+1)时，曲线段C(u)C(u)C(u) 在由控制点Pi−p,Pi−p+1,...,PiP_{i-p}, P_{i-p+1}, ..., P_iPi−p,Pi−p+1,...,Pi组成的凸包内.
局部修改特性:
改变控制点PiP_iPi的位置，只会影响处在[ui,ui+p+1)[u_i,u_{i+p+1})[ui,ui+p+1)区间内的曲线段C(u)C(u)C(u).
C(u)C(u)C(u)在kkk重节点uuu处Cp−kC^{p-k}Cp−k连续.
变差递减性.
B样条曲线和贝塞尔曲线是NURBS曲线的特例.
投影不变性.

3. 修改权重

增加（或，减少）权重值会将曲线拉向（或，远离）控制点PiP_iPi。当wiw_iwi值无穷大时，曲线通过控制点PiP_iPi，当wiw_iwi为零时，控制点PiP_iPi对曲线无影响。

进一步推导:

可得以下结论：
如果wkw_kwk为非负，则C(u)C(u)C(u)始终位于C0(u)C^0(u)C0(u)和PkP_kPk的线段上，其中C0(u)C^0(u)C0(u)是wk=0w_k=0wk=0对应的点，uuu在[uk,uk+p+1][u_k,u_{k+p+1}][uk,uk+p+1]中。并且，当wkw_kwk从0变为无穷大时，C(u)C(u)C(u)从C0(u)C^0(u)C0(u)移到PkP_kPk，如果wkw_kwk是无穷大，C0(u)C^0(u)C0(u)变成PkP_kPk。
示意图：

4. 相关算法

4.1 节点插入：单点插入

假设有N+1N + 1N+1个控制点P0，P1，…，PnP_0，P_1，…，P_nP0，P1，…，Pn，其相关权值分别为W0，W1，…，WNW_0，W_1，…，W_NW0，W1，…，WN，节点向量为UUU，次数ppp.
令Pi=(xi，yi，zi)P_i=(x_i，y_i，z_i)Pi=(xi，yi，zi)，则控制点PiW=(wixi,wiyi,wizi,wi)P^W_i=(w_ix_i,w_iy_i,w_iz_i,w_i)PiW=(wixi,wiyi,wizi,wi)，0<=i<=n0<=i<=n0<=i<=n，节点向量UUU定义了一个ppp次的四维B样条曲线。在这个四维B样条曲线中插入一个新的节点ttt，得到一组新的控制点QiW=(Xi,Yi,Zi,Wi)Q^W_i=(X_i,Y_i,Z_i,W_i)QiW=(Xi,Yi,Zi,Wi)，0<=i<=n0<=i<=n0<=i<=n。通过将QiWQ^W_iQiW的前三个分量除以第四个分量，将QiWQ^W_iQiW投影回三维空间，得到给定NURBS曲线的新的控制点集。

4.2 De Boor’s Algorithm

只需将每个控制点乘以其权重，将NURBS曲线转换为4D B样条曲线，在此4D B样条曲线上执行de Boor算法，然后通过将前三个分量除以第四个分量，并保留第四个分量作为其新权重，将生成的曲线投影回3D。

5. Rational Bézier Curves

有理贝塞尔曲线:

6. Rational Bézier Curves: Conic Sections

构建圆锥曲线:
示意图:

计算：

抛物线:

椭圆：

双曲线：

结论：
由三个非共线控制点P0、P1和P2P_0、P_1和P_2P0、P1和P2定义的有理Bézier曲线，当www大于、等于或小于1时，分别为双曲线、抛物线或椭圆。

7. Circular Arcs and Circles

周期性的弧或圆:
示意图:

计算:

结果：

完整圆的构建:

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