P2380 狗哥采矿【普及+提高】棋盘DP

狗哥采矿 - 洛谷

所谓棋盘dp就是dp[i][j]代表了（1,1）到（i,j)范围内的收益，在矩阵前缀时，利用了一些容斥原理达到状态转移的目的。本题为了维护矩阵形状，考虑到每个点其实只能一直向上或者一直向下，只需要dp[i-1][j]加上左边前缀和与dp[i][j-1]加上上部前缀和即可。

唯一让我疑惑的是，本次i,j的连接方式和其内部的1连接方式根本不同时，为什么不会产生影响呢？

宏观来说，我们向左插入直线时，选择的是上部的矩形，我们向上插入时，选择的是左部的，直线与被选择的矩形根本不想交，所以直线与矩形根本不会互相影响。而我们dp[i-1][j]与d[i][j-1]的状态内部已经安排好了没有冲突的最优情况。我们此时加入一条左或上的边，也是合理的，那么dp[i][j]就合理了，其他更大的矩形就可以利用这一合理性，构建更大的合理。

微观来说，见图。

首先看边界，最上面一定全部向左时，dp[1][j]才能最大值，最左侧全部向上时dp[i][1]才能取最大值。由于(1,1)左右答案都相同，所以这还不能充分说明问题。

到达(1,2)时，两种扩展方式，向上时，dp[i][j-1]内部不会影响本次操作。但本次方向显然和上方(1,2)位置方向发生冲突，但暂时还没有影响后续结果，我们继续推，假设本次是向上推最优。

(2,3)位置，向右推时，dp[2][2]并不会影响本次操作，而且我们这样也把(1,3)改成了向上，不会存在断层情况。那如果本次向左扩展最优呢，那么我们又得把左边全部染成黄色，dp[1][3]派上了用场，dp[1][3]在到达（2,2）点时被“修改”了部分方向，可我们调用时，它仍然保持这它内部最优的情况，而这种情况是连续无断层的。

#include <iostream>
# include<algorithm>
# include<cstring>using namespace std;
typedef long long int ll;int dp[550][550];
int bei[550][550];
int xi[550][550];
int main()
{int n,m;while(cin>>n>>m&&n&&m){for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=m;j++){int x;cin>>x;xi[i][j]=xi[i][j-1]+x;}}for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=m;j++){int x;cin>>x;bei[i][j]=bei[i-1][j]+x;}}memset(dp,0,sizeof(dp));for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=m;j++){dp[i][j]=max(dp[i-1][j]+xi[i][j],dp[i][j-1]+bei[i][j]);}}cout<<dp[n][m]<<'\n';}return 0;
}

以此类推，发现即使出现了内部冲突的情况，也不会对本次造成任何影响。

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