多元微积分（一）--导数与偏导数

大家学习多元微积分，遇到的第一个难点想必就是偏导数，别问俺怎么知道的，因为俺当时也不会（小声）。但是，现在会了，就来告诉大家这个偏导数究竟是什么东东。

1、导数

首先，偏导数，人家毕竟带着“导数”二字，想必和导数脱不了干系。那么，啥是个导数？

如图所示，这是函数 $y=x^2$ 的图像，我们观察 $x=5$ 这个点，函数图像在这个点的坐标为 $(5,25)$ ，我们想像在这个点，x增大了一个很小的值，比如x变成了5.00001，这个时候y肯定也变化了，我们计算一下这个时候y变成了25.00100001。我们将此时的情形图像化一下：

那么我们来计算以下y的变化幅度和x变化幅度的比值A：

$A=\frac{25.00100001-25}{5.0001-5}=10.0001$

计算出来为10.0001，那么我们将x增加为5.000001呢，这时y为25.000010000001，比值为10.00000100148668。我们发现，这个比值似乎越来越接近10了！，这个10就是函数 $y=x^2$ 在x=5处的导数。

根据我们上面的探究，我们将x的那个微小变化表示为dx，因为x的微小变化引起的y的微小变化表示为dy，那么当这个dx越来越小时，我们根据以上的研究可以发现， $\frac{dy}{dx}$ 的值似乎越来越靠近一个定值，我们将这个定值称之为这个函数在这个点的导数，例如上面的例子，就是函数 $y=x^2$ 在x=5处的导数。

我们表示的专业一点，加入我们有一个函数 $y=f(x)$ ，我们在上面取一个点 $x_0$ ，那么函数在 $x=x_0$ 处的导数就可以表示为：

$f'(x)=lim_{dx->0}\frac{f(x+dx)-f(x)}{dx}$

也就是，我们要求的导数就是这个变化幅度dx小的不能再小的时候dy和dx的比值。

说到底，导数就是表示在一个点处，x变化了一个很小的量，这时y的变化量是这个x变化量的几倍。这个x我们可以称之为自变量，所以导数就是表示一个一元函数，它的自变量变化了一丢丢，这时因变量肯定也变化了一丢丢，这个因变量变化的一丢丢是自变量变化的一丢丢的多少倍。

因而我们可以给出一个更一般的式子（这是本菜鸡自己总结的，如有错误，希望大家指正）：

以上就是对导数的说明，那么我们还有一个点没解释，什么呢？就是导函数，那么导函数又是什么呢？对于函数上的每一个点，我们都有对应的导数值，那么这些点和函数在这里的导数有没有一个对应的函数关系呢？答案是有的。这个函数就是所谓的导函数，也就是导数的函数嘛。比如， $y=x^2$ 的导函数就是 $y=2x$ ，我们验证以下在x=5处时的结果，根据导函数，在x=5处的导数应该为2*5 = 10，与我们所计算的一致。至于导函数怎么来求，我就不啰嗦啦，想必大家学到多元函数了，也肯定会算一元导数了吧。我这一节讲的东西只是希望大家可以更加好的对导数有一个理解啦。

OK，导数我们说完了，现在我们来看偏导数。

2、偏导数

刚才我们讲导数时，我们使用了函数 $y=x^2$ ，我们取了自变量x在5处的一个微小的变化dx，然后计算了因变量y因dx而产生的微小变化dy，然后研究了 $\frac{dy}{dx}$ 的值，当dx越来越小时，这个值越来越靠近函数在5处的导数值。

那么，什么又是偏导数呢，我们以二元函数 $z=2xy$ 为例。刚刚自变量只有一个x，我们给x增加了一个微小的量dx，如下图所示：

但是问题就是，我们现在有两个自变量，一个x，一个y，我们到底增加哪个？增加x还是增加y？还是都增加？增加的话又增加多少呢？就像下面这个图一样：

图中的点按照红色箭头的方向，怕不是有无数个自变量变化的情况类，那我们该怎么分析呢？当然是先选择特殊方向了。

2.1 特殊方向1：x的方向

我们先选择单纯x方向的情况来分析吧。就像下面这样：

$z=2xy=2 \times 1 \times 2= 4$

我们先拿一个点x=1，y=2吧（我们以函数 $z=2xy$ 为例的哦，可别整忘了），我们只在x方向加一个微小的增量dx，我们假设变过之后x=1.0001，y=2，那么在因变量z上的微小变化dz是多少呢？我们计算一波吧：

增加之前： $z=2xy=2 \times 1 \times 2= 4$

增加之后： $z=2xy=2 \times 1.0001 \times 2 = 4.0004$

那么 $dz=0.0004$

这里的dz，就是我们上面所说的d(因变量)，那么这里的d(自变量)呢？因为这里我们只改变了x，所以d(自变量) = dx，那么 $\frac{dz}{dx}=4$ ，那么当x变为1.00001，y还是2时呢？这里不再进行繁琐的计算啦，直接告诉大家答案吧，为4。聪明的同学估计已经猜出来了，这个在x=1，y=2时，x方向变化时，导数是不是4呀？确实是这样的，这一点x变化时，当dx足够小时， $\frac{dz}{dx}$ 的值确实是4.由于这是二元函数中，有两个自变量，我们不能再把 $\frac{dz}{dx}$ 称作导数了，我们给它取一个新名字：偏导数，我们上面研究的就是x方向上的偏导数，记作 $\frac{\partial z}{\partial x}$ （你可以把这个 $\partial$ 特殊的符号想象成为d上面变弯了，但意义和d差不多，都代表微小量）。

我们回想刚刚计算的过程，我们这个过程中只改变了x的值，y唯一需要做的就是像个呆瓜一样看着x在变来变去，说的专业一丢丢，就是当作一个常数。我们计算任意一个点对x的偏导数都是这么算的，在计算的过程中，y就当作一个常数就好了。以上面的例子来说（就是函数 $z=2xy$ ），它在一个点 $(x_0, y_0)$ 处的对x的偏导数就是：

$\frac{\partial z}{\partial x} = lim_{dx->0} \frac{2(x + dx)y - 2xy}{dx}$

其意义就是：取一个x方向上的微小变化，y不变，当这个微小变化小的不能再小时，求出dz和dx的比值。

说到这儿，肯定有不少同学想到这么一个问题：保持y不变时，比如y=2时，我们x的值和函数在这个x值处对x的偏导数之间有没有什么函数关系呢？答案是有的，怎么计算呢？就以 $z=2xy$

为例，y=2时，这个函数就变成了 $z=2x \times 2 = 4x$ ，其几何意义就是把这个函数平面上所有y=2的点都拿出来，也就是求一下这个函数和平面y=2的交线，我们根据计算可以知道，这个交线就是直线z=4x。好啦，我们现在知道了：当y=2时，求这个函数关系，就是求直线z=4x上的这个函数关系！是不是想到了我们上面说的导函数？是的，我们做了这么多，不就是为了减少自变量的个数向一元函数靠近嘛。这个思想也是数学上的一个很重要的思想：我们解方程组时的消元就和这个思想差不多。

好耶，我么终于可以开始计算这个函数关系了，很显然就是把z=4x这个函数对x求导（为甚什么是x，因为我们现在只关心x，y我们定下来了，我们现在做的就是给y一个定值，然后探究x的微小变化对函数值的影响），一顿操作下来，我们求出来z‘=4，和我们上面计算的一致啦！那么这个z‘=4的意义是什么呢？它代表着在函数z=2xy上，当y=2时，我们求函数上的点（ $x_0$ ，2）对x的偏导数，都是4。是不是和我们上面计算的一致嘞？

这个y’=4，专业术语是什么呢？我想你肯定已经猜到啦！它时函数z=2xy在y=2处的对x的偏导函数。既然说到这里了，我们能不能更一般化一下嘞？我们假设y=a（a是一个任意常数），那么我们就可以求出来当y=a时的对x的偏导函数了。我们先计算一下y=a时函数变成了 $z=2xy=2x \times a = 2ax$ ，然后我们对x求导结果为z‘=2a，我们很多时候不把这里写成z'=2a，而是写成z’=2y，因为a就是y嘛。所以我们得出来z=2xy对x的偏导函数就是2y，即：

$\frac{\partial z}{\partial x} = 2y$

对于其他的函数，我们的计算方式都一样，啰嗦了这么多，总结起来就一句话：将y看成常数。

2.2 特殊方向1：y的方向

我想经过上面对x方向的讲解的话，我们似乎不需要再在这里啰嗦了，毕竟一个道理嘛~，刚刚将y看作常数，这个时候就把x当作常数不就好了嘛。话不多说了，我们就拿上面的z=2xy例来说，这个函数对y的偏导数就是2x嘛，也就是：

$\frac{\partial z}{\partial y} = 2x$

2.3 其他方向呢？

讲到这里了，有的同学要提问了：你怎么光说了x方向和y方向，其余的那么多方向怎么办，不管啦？当然不是，对于其余的那么多方向，我们有一个专业的名字：方向导数，这些方向导数，我们都可以用 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial z}{\partial y}$ 的组合表示出来，至于怎么表示，俺下一篇文章再讲啦！