导数,偏导数,方向导数与梯度的定义与联系
参考博客https://blog.csdn.net/baishuo8/article/details/81408369和知乎https://www.zhihu.com/question/36301367
一、导数(derivative)
导数,是我们最早接触的一元函数中定义的,可以在 xy 平面直角坐标系中方便的观察。当 Δx→0时,P0处的导数就是因变量y在x0处的变化率,反映因变量随自变量变化的快慢;从几何意义来讲,函数在一点的导数值就是过这一点切线的斜率。
二、偏导数(partial derivative)
偏导数对应多元函数的情况,对于一个 n元函数 y=f(x1,x2,…,xn),在 ℝn 空间内的直角坐标系中,函数沿着某一条坐标轴方向的导数,就是偏导数。在某一点处,求 xi轴方向的导数,就是将其他维的数值看做常数,去截取一条曲线出来,这条曲线的导数可以用上面的导数定义求。求出来就是此点在这条轴方向上的偏导数。
三、方向导数 (directional derivative)
很多时候,仅仅有了坐标轴方向上的偏导数是不够的,我们还想知道任意方向上的导数。函数在任意方向上的导数就是方向导数。而空间中任意方向,是一定可以用坐标轴线性组合来表示的,这就架起了偏导数和方向导数的桥梁:
令 ,
其中,α是由偏导数定义的向量A 与 我们自己找的单位方向向量 I之间的夹角。
现在我们来讨论函数在一点
沿某一方向的变化率问题.
定义 设函数在点
的某一邻域
内有定义.自点
引射线
.设
轴正向到射线
的转角为
(逆时针方向:
0;顺时针方向:
0),并设
'(
+△
,
+△
)为
上的另一点且
'∈
.我们考虑函数的增量
(
+△
,
+△
)-
与
、
'两点间的距离
的比值.当
'沿着
趋于
时,如果这个比的极限存在,则称这极限为函数
在点
沿方向
的方向导数,记作
,即
(1)
从定义可知,当函数在点
的偏导数
x、
y存在时,函数在点
沿着
轴正向
=
,
轴正向
=
的方向导数存在且其值依次为
x、
y,函数
在点
沿
轴负向
=
,
轴负向
=
的方向导数也存在且其值依次为-
x、-
y.
关于方向导数的存在及计算,我们有下面的定理.
定理 如果函数在点
是可微分的,那末函数在该点沿任一方向的方向导数都存在,且有
(2)
其中为
轴到方向
的转角.
证 根据函数在点
可微分的假定,函数的增量可以表达为
两边各除以,得到
所以
这就证明了方向导数存在且其值为
在训练神经网络时,我们都是通过定义一个代价函数(cost function),然后通过反向传播更新参数来最小化代价函数,深度神经网络可能有大量参数,因此代价函数是一个多元函数,多元函数与一元函数的一个不同点在于,过多元函数的一点,可能有无数个方向都会使函数减小。引申到数学上,我们可以把山这样的曲面看作一个二元函数z=f(x,y),二元函数是多元函数里最简单的情形,也是易于可视化直观理解的。前面提到一元函数导数的几何意义是切线的斜率,对于二元函数,曲面上的某一点(x0,y0,z0)会有一个切平面,切平面上的无数条直线都是过这一点的切线,这些切线的斜率实际上就是过这一点的无数个方向导数的值,和一元函数一样,方向导数的值实际反映了多元函数在这一点沿某个方向的变化率。
四、梯度 (gradient)与神经网络中的梯度下降
在上面的方向导数中,
- A是固定的
- |I|=1是固定的
- 唯一变化的就是 α
当 I与 A 同向的时候,方向导数取得最大,此时我们定义一个向量 ,其方向就是 A的方向,大小就是 A的模长,我们称这个向量就是此点的梯度。沿着梯度方向,就是函数增长最快的方向,那么逆着梯度方向,自然就是函数下降最快的方向。由此,我们可以构建基于梯度的优化算法。正如下山必然有一条最陡峭、最快的路径,方向导数也有一个最小值,在最小值对应的方向上,函数下降最快,而这个方向其实就是梯度的反方向。对于神经网络,在方向导数最小的方向更新参数可以使代价函数减小最快,因此梯度下降法也叫最速下降法。
向量(fx(x0,y0),fy(x0,y0))就是函数f(x,y)在点P0(x0,y0)的梯度,由此引出梯度的概念,梯度就是一个向量,这个向量的每个元素分别是多元函数关于每个自变量的偏导数。方向导数的值最大,多元函数增加最快,也就是说梯度的方向就是函数增加最快的方向,方向导数的值最小,多元函数减小最快,也就是在梯度相反的方向上,方向导数最小。
1.梯度的定义
与方向导数有关联的一个概念是函数的梯度.
定义 设函数在平面区域
内具有一阶连续偏导数,则对于每一点
,都可定出一个向量
这向量称为函数=
在点
的梯度,记作
,即
=
如果设是与方向
同方向的单位向量,则由方向导数的计算公式可知
这里,(^,e)表示向量
与
的夹角.由此可以看出,就是梯度在射线
上的投影,当方向
与梯度的方向一致时,有
(
^,
)
1,
从而有最大值.所以沿梯度方向的方向导数达到最大值,也就是说,梯度的方向是函数
在这点增长最快的方向.因此,我们可以得到如下结论:
函数在某点的梯度是这样一个向量,它的方向与取得最大方向导数的方向一致,而它的模为方向导数的最大值.
由梯度的定义可知,梯度的模为
当不为零时,那么
轴到梯度的转角的正切为
我们知道,一般说来二元函数在几何上表示一个曲面,这曲面被平面z=c(c是常数)所截得的曲线
的方程为
这条曲线在
面上的投影是一条平面曲线
(图8―10),它在
平面直角坐标系中的方程为
对于曲线上的一切点,已给函数的函数值都是
,所以我们称平面曲线
为函数
的等高线.
由于等高线上任一点
处的法线的斜率为
,
所以梯度
为等高线上点处的法向量,因此我们可得到梯度与等高线的下述关系:函数
在点
的梯度的方向与过点
的等高线
在这点的法线的一个方向相同,且从数值较低的等高线指向数值较高的等高线(图8―10),而梯度的模等于函数在这个法线方向的方向导数.这个法线方向就是方向导数取得最大值的方向.
2、解释方向导数只有一个最小值:
具有一阶连续偏导数,意味着可微。可微意味着函数 在各个方向的切线都在同一个平面上,也就是切平面。所有的切线都在一个平面上,就好像光滑的笔直的玻璃上,某一点一定有且只有一个最陡峭的地方,因为方向导数是切线的斜率,方向导数最大也就意味着最陡峭。
3、解释最大值在哪个方向?
最大值的方向是梯度的方向。演示参照https://www.matongxue.com/madocs/222.html
五、小结
- 导数、偏导数和方向导数衡量的都是函数的变化率;
- 梯度是以多元函数的所有偏导数为元素的向量,代表了函数增加最快的方向;
- 在梯度反方向上,多元函数的方向导数最小,函数减小最快;在神经网络中,在梯度反方向更新参数能最快使代价函数最小化,所以梯度下降法也叫最速下降法。
导数,偏导数,方向导数与梯度的定义与联系相关推荐
- 导数,方向导数与梯度的关系
最近做的东西需要用到牛顿法和拟牛顿法,前两天自己在思考导数和梯度之间的关系的的时候,发现竟然不能清晰地表述出来.所以趁此机会再次复习一下.时间有限,这个也不是重点,所以主要对知乎上的一个相同问题中大家 ...
- 导数,偏导数,方向导数,梯度
@梯度 梯度 为什么梯度是函数方向变化中最快的,梯度是矢量 为什么梯度是函数方向变化中最快的,梯度是矢量 从导数==>偏导数==>方向导数==>梯度由浅入深的分析梯度 提示:以下是本 ...
- 函数的梯度方向和切线方向_方向导数和梯度是什么?
原标题:方向导数和梯度是什么? 为什么梯度的方向是函数在该点的方向导数最大的方向,梯度的模是最大方向导数的值?大家在看复习全书时,有认真想过这个问题吗?小编在本文以二元函数为例详细讲解方向导数和梯度, ...
- ML: 导数、方向导数、曲率小结
新手上路,小心晕车 前言 导数.方向导数.梯度这些概念是理解神经网络算法的基础,这里做一个小结. 1.导数 导数(Derivative)是微积分中的重要基础概念,当函数y=f(x)的自变量x在一点x0 ...
- 导数,偏导数,方向导数,梯度的理解---微积分数学基础
文章目录 0 概述 1. 导数的概念 1.1 导数的定义 1.2 导数的本质 2. 偏导数的概念 2.1 偏导数定义 2.2 偏导数的本质 3. 方向导数 3.1 方向导数定义 3.2 方向导数的最大 ...
- 导数、偏导数、方向导数、梯度、梯度下降
原作者:WangBo_NLPR 原文:https://blog.csdn.net/walilk/article/details/50978864 原作者:Eric_LH 原文:https://blo ...
- (转)导数、偏导数、方向导数、梯度、梯度下降
原作者:WangBo_NLPR 原文:https://blog.csdn.net/walilk/article/details/50978864 原作者:Eric_LH 原文:https://blo ...
- 全微分/偏导数/方向导数/梯度/全导数
1.偏导数 参考 :导数.偏导数.方向导数 就是对某一变量求导,把其他变量作为常数 2.方向导数 可以认为偏导数是特殊的方向导数,是在自变量方向上的方向导数. 任意方向导数为: 3.梯度 参考: 导数 ...
- 【RL数学基础】微积分的基本概念:导数、偏导数、方向导数、梯度
文章目录 1.导数 2.偏导数 3.方向导数 4.梯度 1.导数 导数定义: 反应的是函数 y=f(x)y=f(x)y=f(x) 在某一点处沿着自变量 xxx 的正方向(即: xxx 轴正方向)的变化 ...
最新文章
- python解多项式方程_python – SymPy不能求解四阶多项式方程
- 聊聊数据挖掘竞赛中的套路与深度学习的局限
- ubuntu下 mysql数据 自执行备份
- Java B2B2C o2o多用户商城 springcloud架构 (六)分布式配置中心(Spring Cloud Config)
- 【计算理论】可判定性 ( 对角线方法 | 使用对角线方法证明 通用任务图灵机 语言 不可判定 )
- 从零开始学习OpenGL ES之五 – 材质
- 怎么查看linux挂载的硬盘,如何查看Linux服务器已挂载的硬盘
- JDK 9、10和11中的安全性增强
- JavaScript中的全局变量介绍
- 成为中国最好的Magento开发公司
- LQR、Stochastic Bandits、Bayesian Bandits、Contextual Bandits与基于模型的强化学习浅析
- 软考初级程序员含金量高吗?有答案了
- JVM 自带使用总结
- 贪吃蛇程序设计报告python_C某贪吃蛇程序设计报告.doc
- 可视化实验五:大数据可视化工具—NodeXL
- gatk过滤_VCF文件中的原始突变过滤–filter raw variants in vcf
- 推荐两个Android模拟器,轻松解决模拟器调试java.lang.UnsatisfiedLinkError: dlopen failed~~
- codeup刷题2.1~2.4小节 ——《算法笔记》(胡凡)
- python关于luminati国外动态代理的使用
- java计算机毕业设计网络游戏后台管理系统(附源码、数据库)
热门文章
- Seventh season twenty-first episode,Monica and Chandler both did not know how to write their vows???
- C++ 后室·无限#1 游戏制作实录(RPG类型游戏)
- 高德地图 toolbar
- 云服务器运维兼职,云服务器的维护工作主要有哪些?
- 设置GPU及显存大小
- 笔记本电脑触控板操作小结
- ⭐算法入门⭐《动态规划 - 串匹配》困难02 —— LeetCode 72. 编辑距离
- java8 Exception全集
- 教程丨一文入门图像预训练模型
- 微信支付认证和ssl-https