Japanese Student Championship 2021 D - Nowhere P(递推 + 快速幂)

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这题很明显存在一个递推关系，思考了一下果然如此。

设dp[i][j]为前i项的和膜p为j的方案数，显然dp[i+1][j] = sum(dp[i][k]), (k + j != p), 那么问题来了，i和j的取值都为1e9，这个数组显然开不出来，开出来了也会超时。

我们观察可以发现，其实对每个j只有唯一一个k能使k + j == p, 可以算出k刚好取到1到p-1, 当我们求长度为i的总方案数时，可以看作加上了P-1个i-1的总方案数再减去一个sum(dp[i][k], k = 1 to p-1), 考虑优化空间 dp[i] = dp[i - 1] * (p - 1) - dp[i - 1] = dp[i - 1] * (p - 2);

dp[1] = p - 1;
dp[n] = dp[1] * pow(p - 2, n - 1);

n为1e9，用快速幂优化;

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;typedef long long LL;
typedef pair<int, int> P;const int maxn = 1e5 + 10;
const int M_MAX = 50000 + 10;
const int mod = 1e9 + 7;
const LL INF = 1e17;
const double eps = 1e-6;     LL quic_pow(LL x, LL n) {LL res = 1;while(n) {if(n & 1) res = res * x % mod;x = x * x % mod;n >>= 1;}return res;
}void solve() {int n, p;cin >> n >> p;LL ans = quic_pow((p-2), n-1) % mod * (p-1) % mod;cout << ans;
}int main()
{ios::sync_with_stdio(false);//freopen("D:\\in.txt", "r", stdin);solve();return 0;
}

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