费雪分离定理的证明与评价

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简介
证明
图解
评价
费雪
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简介

费雪分离定理(Fisher Separation Theorem)由经济学家欧文·费雪(Irving Fisher, 1867-1947)提出，该定理指出在完美资本市场(PCM)中，经济主体的投资决策与消费决策可以相互分离，也即投资决策与其消费偏好无关。

这意味着，公司不用考虑不同股东/投资者的消费偏好，只要投资净现值(NPV)大于0的项目即可。至于消费偏好，股东可以通过运转良好的资本市场予以满足。这从理论上证明了大型现代化公司存在的可能性，因此成为公司金融的奠基理论之一。

证明

本部分为公式密集区，如引起不适请跳至图解部分

考虑一个仅有两期t=0,1t=0, 1t=0,1的效用最大化问题，假设只有一种消费品，消费者偏好可分离，即效用函数为
u(c0,c1)=u(c0)+βu(c1)u(c_0, c_1) = u(c_0)+\beta u(c_1) u(c0,c1)=u(c0)+βu(c1)
其中β∈[0,1]\beta \in [0,1]β∈[0,1]代表未来效用的折现因子。

消费者初始的初始禀赋为y0y_0y0。在第0期可以进行投资I0I_0I0，投资的产出为γΦ(I0)\gamma \Phi (I_0)γΦ(I0)，其中Φ′>0,Φ′′<0,Φ(0)=0,Φ′(0)=+∞\Phi^\prime>0,\Phi^{\prime\prime}<0,\Phi(0)=0,\Phi^{\prime}(0) = +\inftyΦ′>0,Φ′′<0,Φ(0)=0,Φ′(0)=+∞。同时也可以进行储蓄S0S_0S0，市场利率为rrr。

效用最大化问题的数学表达式如下
Max⁡{C0,C1,I0,S0}u(C0)+βu(C1)s.t.C0+I0+S0⩽y0(1)C1⩽γϕ(I0)+(1+r)S0(2)\begin{aligned} \operatorname{Max}_{\{C_0,C_1,I_0,S_0\}} \quad &u(C_0)+\beta u(C_{1}) & \\ s.t. \quad & C_{0}+I_{0}+S_{0} \leqslant y_{0} &\quad (1)\\ & C_{1} \leqslant \gamma \phi\left(I_{0}\right)+(1+r) S_{0} &\quad (2) \end{aligned} Max{C0,C1,I0,S0}s.t.u(C0)+βu(C1)C0+I0+S0⩽y0C1⩽γϕ(I0)+(1+r)S0(1)(2)
通过(1)+(2)/(1+r)(1)+(2)/(1+r)(1)+(2)/(1+r)，将约束条件转化为
s.t.C0+C11+r⩽y0+γϕ(I0)1+r−I0s.t. \quad C_{0}+\frac{C_1}{1+r} \leqslant y_{0}+\frac{\gamma \phi\left(I_{0}\right)}{1+r}-I_{0} s.t.C0+1+rC1⩽y0+1+rγϕ(I0)−I0

设定拉格朗日函数
L=μ(C0)+βμ(C1)+μ[(y0+γϕ(I0)1+r−I0)−C0+C11+r]L=\mu\left(C_{0}\right)+\beta \mu\left(C_{1}\right)+\mu\left[\left(y_{0}+\frac{\gamma \phi\left(I_{0}\right)}{1+r}-I_{0}\right)-C_0+\frac{C_{1}}{1+r}\right] L=μ(C0)+βμ(C1)+μ[(y0+1+rγϕ(I0)−I0)−C0+1+rC1]

根据拉格朗日函数可以将效用最大化问题分解成两个子问题：

1）投资决策

投资决策的目标函数如下，
I0∗=argmax⁡I0γϕ(I0)1+r−I0I_{0}^{*}=\operatorname{argmax}_{I_{0}} \frac{\gamma \phi\left(I_{0}\right)}{1+r}-I_{0} I0∗=argmaxI01+rγϕ(I0)−I0
等式右边就是投资的NPV，为了最大化投资的总NPV，只要NPV为正的项目就应该被投资，这也证明了NPV法则的正确性。

进一步，考虑一阶条件，可以发现，最优投资量的边际收益率=市场利率(机会成本)。
FOC:γϕ′(I0)−1=rFOC: \quad \gamma \phi^{\prime}{\left(I_{0}\right)}-1=r FOC:γϕ′(I0)−1=r
2）消费决策

在确定了最优投资I0∗I_{0}^{*}I0∗之后，通过以下最大化问题求出最优消费即可。
Max⁡{C0,C1}μ(C0)+βμ(C1)s.t.C0+C11+r⩽y0+(γϕ(I0∗)1+r−I0∗)\begin{aligned} \operatorname{Max}_{\{C_0,C_1\}} \quad &\mu\left(C_{0}\right)+\beta \mu\left(C_{1}\right)\\ \text {s.t.} \quad & C_0+\frac{C_1}{1+r} \leqslant y_{0}+\left(\frac{\gamma \phi\left(I_{0}^{*}\right)}{1+r}-I_{0}^{*}\right) \end{aligned} Max{C0,C1}s.t.μ(C0)+βμ(C1)C0+1+rC1⩽y0+(1+rγϕ(I0∗)−I0∗)

图解

将上述问题反映在坐标系(C0,C1)(C_0,C_1)(C0,C1)中，点AAA即为最优投资决策点，根据投资决策问题的一阶条件，它是生产可能性曲线上斜率=市场利率rrr的点，确定了AAA点也就完成了投资决策。

接下来是消费决策，通过点AAA做所作的切线就是消费可能性曲线，切线上的点可以通过借贷的方式实现，事实上也就是消费者的预算约束线。预算约束线与效用无差异曲线的切点BBB即为最优的消费点。

评价

费雪分离定理的关键假设在于完美资本市场(PCM)，包括无交易成本、信息完全对称、市场完全竞争等，是一个非常强的假设。例如，PCM中存贷利率必然相等，然而现实中往往不相等，而利率的不同会导致存款者与贷款者存在不同的最优投资决策，这时投资决策便不能与消费决策分离。

当资本市场完善时，投资仅承担扩大财富的功能，而要满足消费者不同的跨期偏好，通过资本市场借贷即可实现任意的财富跨期转移；当资本市场不完善时，投资也需要承担一定的财富跨期转移功能，此时不同的跨期偏好就会导致不同的投资决策。

虽然PCM在现实中并不存在，但该定理仍然具有极其重要的理论意义：

公司只负责扩大财富，其唯一的标准即NPV≥0NPV \geq 0NPV≥0；
公司价值等于投资项目的未来现金流的折现的加总；
将公司的股利政策视为公司给投资者带来的消费，那么股利政策与投融资决策相互独立；
发达的资本市场可以统一不同个体的投资决策，使更多人参与到投资中来。

费雪

最后值得一提的是，费雪分离定理的提出者欧文·费雪(Irving Fisher, 1867-1947)。

费雪是20c初经济学界的“顶级流量”，是经济学领域的集大成者。费雪最著名的经济学贡献包括费雪效应(名义利率=实际利率+通胀率)，货币数量论(MV=PQMV=PQMV=PQ)，他还对一般均衡理论、计量经济学也作出了很大的贡献。他是货币主义学派的先驱，被弗里德曼、托宾等称为“20世纪美国最伟大的经济学家”。

然而他错误地判断了20c30s年代的大萧条，导致其资产大幅缩水，名声和学术地位也受到了很大影响，但其仍在经济学史上留下了浓墨重彩的一笔。

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