MM定理(Modigliani-Miller)证明与图解

MM定理是公司金融的奠基理论之一，本篇基于Arrow-Debreu证券市场证明了该定理，并给出直观的图解。(内容来自于课堂笔记，夹杂了一些英文，望理解)

理论框架

M&M Theorem (Proposition I): Irrelevance of capital structure
M&M and the Cost of Capital (Proposition II)
M&M and the irrelevance of Distribution Policy（1961）

提出者

Franco Modigliani(1918), CMU, MIT(凯恩斯学派), 1985 Nobel Prize(GE, 生命周期理论).

Merton Miller(1923-2000), CMU, Chicago(芝加哥/自由主义学派), 1990 Nonbel Prize(M&M), 资本结构之父，现代公司金融之父。

学生Eugene Fama, 现代金融之父。
学生Myron Scholes, 1997 Nobel Prize, 期权定价之父，衍生品之父。

1. M&M Theorem (Proposition I)

【M&M Theorem Ⅰ】假定：

公司总现金流不受资本结构影响
没有交易成本
没有套利机会

则公司总市值不受资本结构影响。

1.1 假设Ⅰ

在没有交易成本和套机机会的情况下，资本结构不影响公司的现金流；

MM定理的另一种表述，在没有交易成本和套机机会的情况下，资本结构影响公司的价值当且仅当，资本结构影响公司的现金流。

该假定排除了以下情况：

税收
破产成本
Strategic effects: 竞争对手根据该公司资本结构调整战略
债务人对管理层的压力（战略调整等）

直观理解：将饼看作公司的未来现金流

1.2 假设Ⅱ

无交易成本（证券发行费用，信息不对称），核心在于保证有一个complete & competitive市场

Markets are complete: For each state s, there is an Arrow-Debreu security that costs PsP_sPs at date 0 to purchase and pays one unit of the consumption good at date 1 if and only if state s occurs.

公司发行的任何证券(任何现金流)都可以在市场上找到替代品(可以被完全复制)。

No value to “financial marketing”：单纯通过分割现金流(e.g.创造出市场偏好的现金流)是不可能获得收益的。

1.3 假设Ⅲ

无套利，金融估值是理性的。

1.4 证明

Suppose that the firm’s assets will generate a random cash flow CCC next period (i.e., C(s)C(s)C(s) in state sss). Today the firm issues securities Ki(s)K_{i}(s)Ki(s) against this cash flow (i=1,2,…,N(i=1,2, \dots, N(i=1,2,…,N is the index for different securities like equity, debt, etc.).

Denote Ci(s)C_i(s)Ci(s) as cash flow next period for security i(i=1,2,…,N)i(i=1,2,\ldots,N)i(i=1,2,…,N) in state sss, then the firm’s cash flow next period C(s)=∑i=1NCi(s)C(s)=\sum_{i=1}^{N}C_i(s)C(s)=∑i=1NCi(s) for each state sss.

Complete Markets: For each future state of the world s,s,s, there exists an Arrow-Debreu security (i.e., one that pays $$ 1$ iff sss occurs), trading at a market price of P(s)P(s)P(s).

By tracking portfolio using Arrow-Debreu security, the security iii's value Ki=∑s=1SP(s)Ci(s)K_i=\sum_{s=1}^{S}P(s)C_i(s)Ki=∑s=1SP(s)Ci(s).

Then the total value of this firm is
V=∑i=1NKi=∑i=1N∑s=1S[P(s)Ci(s)]=∑s=1S∑i=1N[P(s)Ci(s)]=∑s=1S[P(s)∑i=1NCi(s)]=∑s=1S[P(s)C(s)]\begin{aligned} V &= \sum_{i=1}^{N}K_i \\ &= \sum_{i=1}^{N} \sum_{s=1}^{S}\left[P(s)C_i(s)\right] \\ &= \sum_{s=1}^{S}\sum_{i=1}^{N}\left[P(s)C_i(s)\right] \\ &= \sum_{s=1}^{S}\left[P(s)\sum_{i=1}^{N}C_i(s)\right] \\ &= \sum_{s=1}^{S}\left[P(s)C(s)\right] \end{aligned} V=i=1∑NKi=i=1∑Ns=1∑S[P(s)Ci(s)]=s=1∑Si=1∑N[P(s)Ci(s)]=s=1∑S[P(s)i=1∑NCi(s)]=s=1∑S[P(s)C(s)]
It means that the firm’s value is determined by it’s cash flow, independent of how it issues securities (M&M 1).

2. M&M and the cost of capital

【M&M Theorem Ⅱ】在M&MⅠ的假设下，WACC独立于资本结构。

证明：

PV=E(CF)1+WACCP V=\frac{E(C F)}{1+WACC} PV=1+WACCE(CF)

由M&MⅠ，PVPVPV不随资本结构变化；由假设Ⅰ，CFCFCF不随资本结构变化。因此WACCWACCWACC与资本结构无关。

2.1 杠杆增加股权收益率

假设Ⅰ表明无税收，因此
WACC=rˉ∗=DVrˉD+EVrˉEWACC = \bar{r}^*=\frac{D}{V}\bar{r}_{D}+\frac{E}{V}\bar{r}_{E} WACC=rˉ∗=VDrˉD+VErˉE

从而股权收益率将随杠杆增大而增加(与上一章相符合)
rˉE=rˉ∗+(rˉ∗−rˉD)DE\bar{r}_{E}=\bar{r}^{*}+\left(\bar{r}^{*}-\bar{r}_{D}\right) \frac{D}{E} rˉE=rˉ∗+(rˉ∗−rˉD)ED

2.2 杠杆增加股权风险

The “asset beta” of firm
β∗=DVβD+EVβE\beta^{*}=\frac{D}{V} \beta_{D}+\frac{E}{V} \beta_{E} β∗=VDβD+VEβE

Solve for βE\beta_{E}βE
βE=β∗+(β∗−βD)DE\beta_{E}=\beta^{*}+\left(\beta^{*}-\beta_{D}\right) \frac{D}{E} βE=β∗+(β∗−βD)ED

从而杠杆将增加股权的系统性风险(即使债务无风险)。

进一步通过CAPM模型可以将股权收益分解为business risk premium和financial risk premium
rˉE=rf+[β∗+(β∗−βD)DE](rˉm−rf)=rf+β∗(rˉm−rf)⏟business risk premium+(β∗−βD)DE(rˉm−rf)⏟financial risk premium\begin{aligned} \bar{r}_{E}&=r_{f}+\left[\boldsymbol{\beta}^{*}+\left(\boldsymbol{\beta}^{*}-\boldsymbol{\beta}_{D}\right) \frac{D}{E}\right]\left(\bar{r}_{m}-r_{f}\right)\\ &=r_{f}+\underbrace{\boldsymbol{\beta}^{*}\left(\bar{r}_{m}-r_{f}\right)}_{\text{business risk premium}} +\underbrace{\left(\boldsymbol{\beta}^{*}-\boldsymbol{\beta}_{D}\right) \frac{D}{E}\left(\bar{r}_{m}-r_{f}\right)}_{\text{financial risk premium}} \end{aligned} rˉE=rf+[β∗+(β∗−βD)ED](rˉm−rf)=rf+business risk premiumβ∗(rˉm−rf)+financial risk premium(β∗−βD)ED(rˉm−rf)

不同融资结构对于投资者而言仅仅改变现金流的跨期结构，不改其现值/价值。这种改变可以通过资本市场实现，因此两种资本结构对投资者无差异。

2.3 风险债务

M&MⅡ对于有风险债务仍然成立。e.g.有可能破产的情况下M&MⅡ仍成立，前提是无破产成本(假设Ⅱ)。

公司增发债务也不改变公司的价值，但是可能改变公司价值的分配：新债的风险大于旧债，如果新债和旧债有一样的优先级，股东获利，旧债权人吃亏(此种情况下旧债发行人事实上不完全理性)；如果新债低于旧债的优先级，则股东价值仍不变。

3. M&M dividend irrelevance theorem

【定理】假定无税收，无交易成本，公司的投融资决策、经营策略固定，那么发放股利与股票回购对股权人无差异。

4. 理论意义

M&M定理表明，若融资决策不影响投资决策，则融资不改变企业价值。同时指出，WACC与资本结构无关；EPS具有杠杆效应，并非越高越好。

If we know what does not matter, we may infer what does.

但现实中，由于税盾、破产成本等存在，融资决策仍然会影响公司价值。

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