任务详解：

这节课主要介绍了函数的导数，中值定理与洛必达法则等知识点。
掌握目标：
1、掌握导数的意义以及初等函数导数公式，求导法则
2、了解中值定理，洛必达法则
，泰勒公式
3、了解函数的凹凸性
4、掌握函数的极值，以及极值的充要条件
5、掌握不定积分，定积分的计算，第一第二类换元，分部积分法，牛顿莱布尼茨公式

1.函数的导数

导数的引入：

1.直线运动的速度

计算t0t_0t0的瞬时速度为：
v=lim⁡t→t0f(t)−f(t0)t−t0v=\lim_{t \to t_0}\frac{f(t)-f(t_0)}{t-t_0}v=t→t0limt−t0f(t)−f(t0)
2.曲线的切线

求MN两点间割线的斜率(当N无限靠近M的时候，就相当于M点切线的斜率)：
k=lim⁡x→x0f(x)−f(x0)x−x0k=\lim_{x \to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}k=x→x0limx−x0f(x)−f(x0)

定义

定义设函数y=f(x)y=f(x)y=f(x)在点x0x_0x0的某个邻域内有定义，当自变量xxx在x0x_0x0处取得增量Δx\Delta xΔx（点x0+Δxx_0+\Delta xx0+Δx仍在该邻域内）时，相应地，因变量取得增量Δy=f(x0+Δx）−f(x0)\Delta y= f(x_0+\Delta x）-f(x_0)Δy=f(x0+Δx）−f(x0)；如果Δy\Delta yΔy与Δx\Delta xΔx之比当Δx→0\Delta x \to 0Δx→0时的极限存在，那么称函数y=f(x)y=f(x)y=f(x)在点x0x_0x0处可导，并称这个极限为函数y=f(x)y=f(x)y=f(x)在点x0x_0x0处的导数，记为f′(x0)f'(x_0)f′(x0)，即
f′(x0)=lim⁡Δx→0ΔyΔx=lim⁡Δx→0f(x0+Δx)−f(x0)Δxf'(x_0)=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}f′(x0)=Δx→0limΔxΔy=Δx→0limΔxf(x0+Δx)−f(x0)
也可记作y′∣x=x0y'|_{x=x_0}y′∣x=x0,dydx∣x=x0\frac{dy}{dx}|_{x=x_0}dxdy∣x=x0或df(x)dx∣x=x0\frac{df(x)}{dx}|_{x=x_0}dxdf(x)∣x=x0

常用函数的导数

函数f(x)=C（C为常数）f(x)=C（C为常数）f(x)=C（C为常数）的导数为：0
函数f(x)=xn（n∈N）f(x)=x^n（n\in N）f(x)=xn（n∈N）的导数为：nxn−1nx^{n-1}nxn−1
幂函数f(x)=xμ（μ∈R）f(x)=x^\mu（\mu \in R）f(x)=xμ（μ∈R）的导数为：μxμ−1\mu x^{\mu-1}μxμ−1
函数f(x)=sinxf(x)=sinxf(x)=sinx的导数为：cosxcosxcosx
函数f(x)=ax（a>0，a≠1）f(x)=a^x（a>0，a\neq 1）f(x)=ax（a>0，a=1）的导数为：axlnaa^xlnaaxlna，特别的当a=ea=ea=e时，(ex)′=ex(e^x)'=ex(ex)′=ex
函数f(x)=logax（a>0，a≠1）f(x)=log_ax（a>0，a\neq 1）f(x)=logax（a>0，a=1）的导数为：1xlna\frac{1}{xlna}xlna1，特别的当a=ea=ea=e时，(lnx)′=1x(lnx)'={1}{x}(lnx)′=1x

定理：导数存在<==>左右导数存在且相等
例题：函数f(x)=∣x∣f(x)=|x|f(x)=∣x∣在x=0x=0x=0处的导数不存在
lim⁡Δx→0∣x+Δx∣−∣x∣Δx=lim⁡Δx→0∣Δx∣Δx\lim_{\Delta x\to 0}\frac{|x+\Delta x|-|x|}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{|\Delta x|}{\Delta x}Δx→0limΔx∣x+Δx∣−∣x∣=Δx→0limΔx∣Δx∣
当（右极限或叫右导数）Δx→0+,ΔxΔx=1\Delta x\to 0^+,\frac{\Delta x}{\Delta x}=1Δx→0+,ΔxΔx=1，
当（左极限或叫左导数）Δx→0−,ΔxΔx=−1\Delta x\to 0^-,\frac{\Delta x}{\Delta x}=-1Δx→0−,ΔxΔx=−1
左右极限不相等，故导数不存在。

求导法则

1.[u(x)±v(x)]′=u(x)′±v(x)′1.[u(x)\pm v(x)]'=u(x)'\pm v(x)'1.[u(x)±v(x)]′=u(x)′±v(x)′
2.[u(x)v(x)]′=u(x)′v(x)+u(x)v(x)′2.[u(x) v(x)]'=u(x)' v(x)+u(x) v(x)'2.[u(x)v(x)]′=u(x)′v(x)+u(x)v(x)′
3.[u(x)v(x)]=u(x)′v(x)−u(x)v(x)′v2(x)(v(x)≠0)3.\left[ \frac{u(x)}{v(x)}\right]=\frac{u(x)' v(x)-u(x) v(x)'}{v^2(x)}\quad (v(x)\neq 0)3.[v(x)u(x)]=v2(x)u(x)′v(x)−u(x)v(x)′(v(x)=0)

链式法则

如果u=g(x)u=g(x)u=g(x)在点x可导，而y=f(u)y=f(u)y=f(u)在点u=g(x)u=g(x)u=g(x)可导，那么复合函数y=f[g(x)]y=f[g(x)]y=f[g(x)]在点xxx可导，且其导数为：
dydx=f′(u)⋅g′(x)或dydx=dydu⋅dudx\frac{dy}{dx}=f'(u)\cdot g'(x)或\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}dxdy=f′(u)⋅g′(x)或dxdy=dudy⋅dxdu

高阶导数

2.中值定理与洛必达法则

拉格朗日中值定理

如果函数f(x)f(x)f(x)满足
（1）在闭区间[a,b][a,b][a,b]上连续；
（2）在开区间(a,b)(a,b)(a,b)内可导，那么在(a,b)(a,b)(a,b)内至少有一点(a<f<b)(a<f<b)(a<f<b)，使等式
f(b)−f(a)=f′(ξ)(b−a)f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)f(b)−f(a)=f′(ξ)(b−a)
成立.
从图像上看就是a，b两点间的曲线上，总是可以找到一个点的切线的斜率与线ab的斜率相等（二者平行）f(b)−f(a)(b−a)=f′(ξ)\frac{f(b)-f(a)}{(b-a)}=f'(\xi)(b−a)f(b)−f(a)=f′(ξ)

拉格朗日中值定理是柯西中值定理的一种特殊情况（就是F(x)=xF(x)=xF(x)=x）。

柯西中值定理

如果函数f(x)f(x)f(x)及F(x)F(x)F(x)满足
（1）在闭区间[a,b][a,b][a,b]上连续；
（2）在开区间(a,b)(a,b)(a,b)内可导；
（3）对任一x∈(a,b),F′(x)≠0x\in (a,b),F'(x)\neq 0x∈(a,b),F′(x)=0，那么在(a,b)(a,b)(a,b)内至少有一点，使等式
f(b)−f(a)F(b)−F(a)=f′(ξ)F′(ξ)\frac{f(b)-f(a)}{F(b)-F(a)}=\frac{f'(\xi)}{F'(\xi)}F(b)−F(a)f(b)−f(a)=F′(ξ)f′(ξ)
成立。

洛必达法则

主要是用来求两个无穷小之比或两个无穷大之比的极限。
方法是：通过分子分母分别求导再求极限。
证明过程用到了柯西中值定理。

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