微积分学和算法分析中的OOO, o" role="presentation">ooo

引言

微积分中有无穷小和有界的概念，对应的符号分别为OOO, o" role="presentation">ooo。
类似的，在算法分析中也有渐近上/下界、非紧上/下界和紧渐近界的概念，对应的符号分别为O/Ω,o/ωO/Ω,o/ωO/\Omega, o/\omega和ΘΘ\Theta。
既然前两个符号相同，那么这些符号有什么联系呢？

比较

根据微积分学中的定义，有界符号OOO定义为
α(x)=O(β(x))⇔∃M>0,s.t.|α(x)β(x)|<M" role="presentation">α(x)=O(β(x))⇔∃M>0,s.t.∣∣α(x)β(x)∣∣<Mα(x)=O(β(x))⇔∃M>0,s.t.|α(x)β(x)|<M\alpha(x) = O(\beta(x)) \Leftrightarrow \exists M > 0,s.t.\left\lvert\frac{\alpha(x)}{\beta(x)}\right\rvert
无穷小量符号ooo定义为
α(x)=o(β(x))⇔limx→x0α(x)β(x)=0" role="presentation">α(x)=o(β(x))⇔limx→x0α(x)β(x)=0α(x)=o(β(x))⇔limx→x0α(x)β(x)=0 \alpha(x) = o(\beta(x)) \Leftrightarrow \lim_{x \to x_{0}}\frac{\alpha(x)}{\beta(x)} = 0

而在算法分析中，渐近上下界定义为
O(g(n))={f(n)|∃c>0,s.t.0<f(n)g(n)<c}O(g(n))={f(n)|∃c>0,s.t.0<f(n)g(n)<c}O(g(n)) = \lbrace f(n)|\exists c > 0, s.t. 0 ，即g(n)g(n)g(n)是f(n)f(n)f(n)的上界
Ω(g(n))={f(n)|∃c>0,s.t.0<g(n)f(n)<c}Ω(g(n))={f(n)|∃c>0,s.t.0<g(n)f(n)<c}\Omega(g(n)) = \lbrace f(n)|\exists c > 0, s.t. 0 ，即g(n)g(n)g(n)是f(n)f(n)f(n)的下界
o(g(n))={f(n)|limn→∞f(n)g(n)=0}o(g(n))={f(n)|limn→∞f(n)g(n)=0}o(g(n)) = \lbrace f(n)|\lim_{n \to \infty}\frac{f(n)}{g(n)} = 0 \rbrace，即g(n)g(n)g(n)是f(n)f(n)f(n)的非紧上界
ω(g(n))={f(n)|limn→∞g(n)f(n)=0}ω(g(n))={f(n)|limn→∞g(n)f(n)=0}\omega(g(n)) = \lbrace f(n)|\lim_{n \to \infty}\frac{g(n)}{f(n)} = 0 \rbrace，即g(n)g(n)g(n)是f(n)f(n)f(n)的非紧下界
Θ(g(n))={f(n)|∃c1,c2>0,s.t.c1<limn→∞f(n)g(n)<c2}Θ(g(n))={f(n)|∃c1,c2>0,s.t.c1<limn→∞f(n)g(n)<c2}\Theta(g(n)) = \lbrace f(n)|\exists c_1, c_2 >0, s.t. c_1 ，即g(n)g(n)g(n)是f(n)f(n)f(n)的紧渐近界。联系矩阵代数中向量范数等价性（∥⋅∥1‖⋅‖1\lVert \cdot \rVert_1和∥⋅∥2‖⋅‖2\lVert \cdot \rVert_2 等价指 ∃c1,c2>0,s.t.∀x∈X,c1∥x∥1≤∥x∥2≤c1∥x∥2∃c1,c2>0,s.t.∀x∈X,c1‖x‖1≤‖x‖2≤c1‖x‖2\exists c_1,c_2>0,s.t.\forall x \in X, c_1\lVert x\rVert_1 \le \lVert x\rVert_2 \le c_1\lVert x\rVert_2）的定义，发现二者很相似。即微积分中的同阶无穷大。

从定义上看，微积分中的符号表明了两个变量之间的一种关系，而算法分析中的符号表示一种运算，其结果是一个集合，二者的含义是不同的。但从定义的出发点来看，二者其实是一样的。
实际上，根据第二种定义，我们可以定义一种等价关系，使得同一个集合O(g(n))O(g(n))O(g(n))里的元素等价，从而该集合可以被其中的任何一个元素代表，当然也可以由g(n)g(n)g(n) 代表。于是要证明两个集合相等，可以直接证明两个集合中的元素存在一组相等（这里讨论的相等实际上是广义的等价关系），而不用根据集合相等的定义去证明两个集合互相包含。

总结

本质上是一样的。
另外由等价关系（自反、传递、对称）、偏序关系（自反、传递、反对称）和相容关系（自反、对称）的定义可知，紧渐进界是一种等价关系，而渐近上下界是一种偏序关系，非紧上下界不属于任何三种中的一种关系。另外，这其中的对偶关系也可以很容易得出来。

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