微积分——什么是导数
目录
1. “导数(derivative)”名称的由来
1.1 “derivative”的词源
1.2 “derivative”的数学意义来源
1.3 “derivative”中文翻译为“导数”
2. “导数(derivative)”的数学意义
1. “导数(derivative)”名称的由来
1.1 “derivative”的词源
作为名词,始于15世纪中期,词义为“a derived word or form, a word formed immediately or remotely from another or a root (派生词或派生形式,直接或者由另一个词或词根组成的词)”,由形容司“derivative (派生的)”转化而来。常用词义“that which is derived or deduced from another(由另一个事物派生或演绎而来的事物)”始于1590年代,其数学意义“a derivative function (导数函数)”始于1670年代。
1.2 “derivative”的数学意义来源
Newton(牛顿)将“derivative”称为“Fluxion(流数)”,即流(flow): f′是“流动的(fluent)”(即“流动的功变化的量”)函数f (牛顿用点号(.)代替上撇号(′)( primes);上撇号(′)( primes)是由拉格朗日(Lagrange)在18世纪末引入的)的“流数(fluxion)”。但是随着莱布尼茨的符号和他基于微分(differentials)的方法被普遍采用,牛顿的这个方便的术语就被废弃了。
函数导数的传统名称曾经称为“微分系数(Differential Coefficient)”。之所以使用这个名称是因为当我们将等式写作df(x)=f′(x)dx时f′(x)是dx(微分)的系数。事实上,在18世比和19世纪早期,数学家们对无穷小微分比微分系数更感兴趣。
然而,随着分析变得越来越严谨,注意力转向了导数f′而不是微分f′(x)dx。认识到,函数导数f′是由函数“导出的、衍生出的、演绎出的、推导出的、等等(derived)”,在语法意义上,名词的复数形式是派生于名词的单数形式。在拉丁语中,动词“dērīvāre”词义为“to lead or draw off (water or liquid), to divert, derive (words)(引导或脱去(水或液体),转移、派生(词汇))”,可以解析为由前缀“dē”(词义为“from(来自)”)+“rīvus”(词义为“brook, stream of water(小溪、水流)”)构成。这就是对于函数导数f′“导数函数(derived function)”或者“导数(derivative)”的源头。
尽管“derive”流行用于表示导数计算的动词,大部分数学家喜欢用“微分(differentiate)”表示,例如:
“针对x微分, 你将会得到相同的函数。”
1.3 “derivative”中文翻译为“导数”
根据前面的叙述,函数导数f′是由函数“导出的、衍生出的、演绎出的、推导出的、等等(derived)”的意义,中文将其翻译为“导数”。
2. “导数(derivative)”的数学意义
函数的导数的定义为
假如函数f(x)对于所有定义域上的x,其极限都存在,则函数在x点的导数的定义为:
=
应该认识到,x的函数的导数也是x的函数,这个“新产生”的函数给出了对于任意点(x,f(x))的f函数图形上的切线斜率(slope)(假如函数图形在这一点处有切线)。这个导数也可以用于确定一个变量针对别一个变量的“变化的瞬时率”(或简称“变化率”)。
因此,从定义上可以看出,导数的确切数学含义为“当函数在任意某点x的变化(即Δx无限趋近于0时)无限趋近于0时,函数在这一点x的函数变化值与其自变量的相应变化值之比的极限值”,如果对于定义域上的所有自变量,这种极限都存在,则这个表达式就称为函数的导函数;简单地说,就是函数导数是任意某点x“变化率的极限值”的表达式(注:将“导数”说成是“微商”是不严谨的),从而,只要给定这一点的具体值,就能用导数函数算出这个点的变化率,导数函数是这种变化率的通用表达式。
导数除了记为, 最常用的记法还有 , , ,
记法dy/dx读作“y针对x的导数”,或简单读为“dy,dx”,使用极限记法,可以写作:
参考资料:
1. 网络资源
2. <<calculus>> Ron Larson,The Pennsylvania State University The Behrend College
Bruce Edwards, University of Florida
微积分——什么是导数相关推荐
- 【微积分知识】 导数,偏导数,方向导数,梯度
导数 导数(Derivative),也叫导函数值.又名微商,是微积分中的重要基础概念.当函数y=f(x)的自变量x在一点x0上产生一个增量Δx时,函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0 ...
- 单变量微积分笔记2——导数2(求导法则和高阶导数)
和.差.积.商求导法则 设u=u(x),v=v(x)都可导,则: (Cu)' = Cu', C是常数 (u ± v)' = u' ± v' (uv)' = u'v + uv' (u/v)' = (u' ...
- [数学]导数与微积分(第一部分)
导数与微积分 无论是什么导数, 其本质都是求切线斜率, 都是一个 ΔfΔx\dfrac{\Delta f}{\Delta x}ΔxΔf 的极限结果. 只不过在不同情境下有不同的名称而已. 而微分无非 ...
- 高等数学--导数、偏导数、梯度简介
目录 一元函数微积分 一阶导数 定义 数值微分的代码实现 上述代码中存在的问题 数值微分代码改进 导数的意义 多元函数微积分 偏导数 定义 偏导数代码实现 偏导数的意义 梯度 梯度的代码实现 求梯度的 ...
- 动手学深度学习笔记4——微积分自动微分
目录 1.微积分 1.1导数和微分 1.2偏导数 1.3梯度 1.4链式法则 1.5小结 1.6练习 2.自动微分 2.1一个简单的例子 2.2非标量变量的反向传播 2.3分离计算 2.4Python ...
- 微分和导数的关系是什么?两者的几何意义有什么不同?为什么要定义微分 ?...
撸了今年阿里.头条和美团的面试,我有一个重要发现.......>>> 马同学 微信公众号:matongxue314,把数学讲清楚 -------------------------- ...
- 【人工智能数学基础(二)】微积分
文章目录 微积分 1. 微分 1.1 导数 1.2 微分 1.3 泰勒公式 2. 积分 3. 矩阵微积分 3.1 导数法则 3.1.1 **加**(**减**)**法则** 3.1.2 乘法法则 3. ...
- 微分和导数的关系是什么?
在初学微分和导数时,虽然感觉概念不复杂,但是我对两者的关系有点模糊,比如以下问题就觉得模棱两可: 对于导数链式法则, dydx=dydududx\frac {dy}{dx} = \frac {dy}{ ...
- 多变量微积分笔记24——空间线积分
线积分或路径积分是积分的一种.在数学中,线积分的积分函数的取值沿的不是区间,而是特定的曲线,称为积分路径.在物理学上,线积分是质点在外力作用下运动一段距离后总功. 如果把空间向量场F = Pi + Q ...
最新文章
- 海思3559A上编译GDB源码操作步骤及简单使用
- 这三年被分布式坑惨了,曝光十大坑
- html5改成块状标签,HTML5基本网页结构以及标签的改变
- 挑战“IT我最大 Win7由你秀”
- drools规则中调用其它规则_简化机器学习中的关联规则
- while(1); 作用
- linux之NTP服务
- [css] 使用css实现蒙版的效果
- centos7开启vnc服务_阿里云CentOS 7搭建VNC远程桌面服务步骤方法
- 如何使用Tornado实现WebSocket服务器?
- layui导航栏页面滚动固定_网站建设页面导航如何降低用户寻找的时间
- java 反射深度克隆_C# 使用反射来实现对象的深度复制方法
- 力扣116. 填充每个节点的下一个右侧节点指针(JavaScript)
- .NET 将 .config 文件嵌入到程序集
- Android Studio 2.3的各种新增疑难杂症
- Visual Basic 6.0精简版下载地址
- 快速截图工具——百度输入法的扩展功能
- 高中数学数列解题技巧及常用高考数学解题方法
- OpenCV开发笔记(六十五):红胖子8分钟带你深入了解ORB特征点(图文并茂+浅显易懂+程序源码)
- 科普系列:AUTOSAR与OSEK网络管理比较(上)