实数集与函数

实数

1. 任何实数都可用一个确定的无限小数表示.
2. 实数的性质：对加减乘除四则运算是封闭的，有序的，传递性，阿基米德性（对任意实数aaa,bbb若b>a>0b>a>0b>a>0，则存在正整数nnn,使得na>bna>bna>b.）,稠密性，与数轴上的点一一对应.

数集·确界原理

1. 上确界η\etaη：对于实数集中的一个数集SSS,若数η\etaη:(i)对一切x∈Sx\in Sx∈S,有x≤Sx \leq Sx≤S;(ii)对任何α>η\alpha >\etaα>η,存在 x0∈Sx_0\in Sx0​∈S,有x0>αx_0>\alphax0​>α.即满足为上界，且为最小上界.
2. 确界原理：若数集有上界，则必有上确界.

函数

1. 设f(x)f(x)f(x)在定义域DDD上为严格单调函数，则fff必有反函数f−1f^{-1}f−1，且在定义域f(D)f(D)f(D)上严格单调.

数列极限

1. 收敛数列的性质：唯一性，有界性，保号性，保不等式性，迫敛性.
2. 数列收敛的充要条件：数列的所有子列收敛.
3. 单调有界定理：有界单调数列必有极限.
4. 致密性定理：任何有界数列必有收敛子列.
5. 柯西收敛准则

函数极限

函数极限的性质

1. 函数极限的性质：唯一性，局部有界性，局部保号性，保不等式性，迫敛性.

函数极限存在的条件

1. 海涅定理（归结原则）：f(x)f(x)f(x)在x0x_0x0​存在极限的充分必要条件：任何含于x0x_0x0​邻域中且以x0x_0x0​为极限的数列xn{x_n}xn​，极限f(xn)f({x_n})f(xn​)都存在且相等.（将函数极限转化为数列极限）
2. 若f(x)f(x)f(x)在右邻域上单调有界，则右极限存在.
3. 柯西准则

函数的连续性

连续函数的性质

1. 有界性定理：若函数在闭区间上连续，则在闭区间上有界.
2. 最大、最小值定理：若函数在闭区间上连续，则在闭区间上有最大、最小值.
3. 介值性定理、根的存在定理
4. 反函数的连续性：若函数fff在定义域上严格单调并连续，则反函数f−1f^{-1}f−1在其定义域上连续.

一致连续

1. 一致连续性：若任意给ϵ>0\epsilon>0ϵ>0，存在δ=δ(ϵ)>0\delta=\delta (\epsilon)>0δ=δ(ϵ)>0，使得对任意∣x′−x′′∣<δ|x'-x''|<\delta∣x′−x′′∣<δ，就有∣f(x′)−f(x′′)∣<ϵ|f(x')-f(x'')|<\epsilon∣f(x′)−f(x′′)∣<ϵ
2. 一致连续性定理：若函数在闭区间连续，则函数在闭区间上一直连续.(反证法，致密性定理）

导数和微分

1. 费马定理：若函数在某点的某邻域上有定义，且在该点可导，若该点为极值点，则必有该点导数为0.
2. 反函数的导数：若反函数ϕ(y)\phi(y)ϕ(y)在y0y_0y0​的某邻域上连续、严格单调且不为零，则f(x0)f(x_0)f(x0​)在x0=ϕ(y0)x_0=\phi(y_0)x0​=ϕ(y0​)可导，且f′(x0)=1ϕ′(y0)f'(x_0)=\frac{1} {\phi '(y_0)}f′(x0​)=ϕ′(y0​)1​.
3. 复合函数求导使用链式法则.
4. 莱布尼茨公式：(uv)(n)=∑k=0nCnkun−k)v(k)(uv)^{(n)}=\sum^{n}_{k=0}C^k_nu^{n-k)}v^{(k)}(uv)(n)=∑k=0n​Cnk​un−k)v(k)

微分中值定理和函数的单调性

拉格朗日定理和函数单调性

1. 罗尔定理：闭区间连续，开区间可导，端点值相等则存在一点导数为0.
2. 拉格朗日中值定理：闭区间连续，开区间可导则存在f′(ξ)=f(b)−f(a)b−af'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}f′(ξ)=b−af(b)−f(a)​.
3. 拉格朗日的推论：（1）区间上导数恒等于0，则函数为常量函数.（2）若两个函数导数相等，则原函数只相差某个常数.（3）导数极限定理：若函数在去心邻域可导且导数的极限存在，则在该点可导.
4. 达布定理（导函数的介值定理）

柯西中值定理

1. 函数fff和ggg满足：闭区间连续，开区间可导，导函数不同时为零，g(a)≠g(b)g(a)\neq g(b)g(a)​=g(b),则存在f′(ξ)g′(ξ)=f(b)−f(a)g(b)−g(a)\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}g′(ξ)f′(ξ)​=g(b)−g(a)f(b)−f(a)​.

不定式极限

1. 柯西中值定理是洛必达定理的理论依据.
2. 00\frac{0}{0}00​型不定式：若函数fff和ggg满足(i)在x0x_0x0​处极限均为0(ii)在x0x_0x0​的某个去心邻域上都可导，且g′(x0)≠0g'(x_0)\neq0g′(x0​)​=0(iii)lim⁡x→x0f′(x)g′(x)=A\lim_{x \to x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}=Alimx→x0​​g′(x)f′(x)​=A，那么lim⁡x→x0f(x)g(x)=lim⁡x→x0f′(x)g′(x)=A\lim_{x \to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x \to x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}=Alimx→x0​​g(x)f(x)​=limx→x0​​g′(x)f′(x)​=A

泰勒公式

1. 泰勒定理：若函数在闭区间上n阶可导，且导函数连续，在开区间存在n+1阶导数，则对于任意给定的x,x0∈[a,b]x,x_0\in [a,b]x,x0​∈[a,b]，至少存在一点ξ∈(a,b)\xi\in (a,b)ξ∈(a,b)，使得f(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+⋯+f(n)(x0)n!(x−x0)n+f(n+1)(ξ)(n+1)!(x−x0)(n+1)f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\cdots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} (x-x_0)^{(n+1)}f(x)=f(x0​)+f′(x0​)(x−x0​)+⋯+n!f(n)(x0​)​(x−x0​)n+(n+1)!f(n+1)(ξ)​(x−x0​)(n+1).

函数的极值

1. 费马定理：函数极值的必要条件为导数为0.
2. 极值的第一充分条件：函数在某点连续，在去心邻域可导，若在左邻域导函数小于等于零，在右邻域大于等于零，则取得极小值.(极大值类似)
3. 极值的第二充分条件：设函数在某点的邻域一阶可导，在该点二阶可导且一阶导数为0，若二阶导数大于零，则为极小值，若二阶导数小于零，则为极大值.
4. 极值的第三充分条件：设函数在某点的邻域n-1阶可导，在该点n阶可导，前n-1阶导数均为0，n阶导数不为零，若n为偶数，且n阶导数小于零，则为极大值，反之则为极小值，若n为奇数，则不是极值点.

函数的凹凸性

1. 凸函数：(i)f(λx1+(1−λ)x2)≤λf(x1)+(1−λ)f(x2)f(\lambda x_1+(1-\lambda)x_2)\leq \lambda f(x_1)+(1-\lambda) f(x_2)f(λx1​+(1−λ)x2​)≤λf(x1​)+(1−λ)f(x2​)(ii)对于x1<x2<x3x_1<x_2<x_3x1​<x2​<x3​有f(x2)−f(x1)x2−x1≤f(x3)−f(x1)x3−x1\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}\leq\frac{f(x_3)-f(x_1)}{x_3-x_1}x2​−x1​f(x2​)−f(x1​)​≤x3​−x1​f(x3​)−f(x1​)​(iii)f′f'f′为增函数.(iv)f(x2)≥f(x1)+f′(x1)(x2−x1)f(x_2)\geq f(x_1)+f'(x_1)(x_2-x_1)f(x2​)≥f(x1​)+f′(x1​)(x2​−x1​)(f(x)f(x)f(x)总是在它的任意一个切线上方)
2. 詹森Jensen不等式
3. 拐点的必要条件为二阶导数为0.

不定积分

1. 若函数连续，则函数存在原函数.
2. 欧拉变换

定积分

1. 黎曼可积：对于函数fff在闭区间[a,b][a,b][a,b]上，JJJ是一个确定的实数，对于任意给定的正数ϵ\epsilonϵ，总存在某一个正数δ\deltaδ，使得对闭区间上的任意分割TTT，以及在其上任意选取的点集{ξi}\{\xi_i\}{ξi​}，只要∣∣T∣∣<δ||T||<\delta∣∣T∣∣<δ，就有∣∑i=1nf(ξi)Δxi−J∣<ϵ|\sum_{i=1}^{n}f(\xi_i)\Delta x_i-J|<\epsilon∣∑i=1n​f(ξi​)Δxi​−J∣<ϵ.
2. 牛顿—莱布尼茨公式

可积条件

1. 必要条件：若函数在闭区间可积，在函数在闭区间有界.
2. 充要条件：（可积准则）任意给定正数ϵ\epsilonϵ，总存在一个相应的分割TTT，使得S(T)−s(T)=∑i=1nωiΔxi<ϵS(T)-s(T)=\sum_{i=1}^{n}\omega_i\Delta x_i<\epsilonS(T)−s(T)=∑i=1n​ωi​Δxi​<ϵ
3. 闭区间连续，则可积.
4. 若函数为闭区间上只有有限个间断点的有界函数，则可积.
5. 若闭区间单调，则可积.

定积分的性质

1. 积分第一中值定理：若fff闭区间连续，则存在一点ξ∈[a,b]\xi \in [a,b]ξ∈[a,b],∫abf(x)=f(ξ)(b−a)\int_a^bf(x)=f(\xi)(b-a)∫ab​f(x)=f(ξ)(b−a).
2. 推广的积分第一中值定理：若f,gf,gf,g闭区间连续，ggg 不变号，则存在一点ξ∈[a,b]\xi \in [a,b]ξ∈[a,b],∫abf(x)g(x)=f(ξ)∫abg(x)\int_a^bf(x)g(x)=f(\xi)\int_a^bg(x)∫ab​f(x)g(x)=f(ξ)∫ab​g(x).

反常积分

无穷积分

1. 无穷积分收敛的充要条件：任意给正数ϵ\epsilonϵ，存在G≥aG\geq aG≥a，只要u1,u2>Gu_1,u_2>Gu1​,u2​>G，便有∣F(u2)−F(u1)∣=∣∫u1u2f(x)dx∣<ϵ|F(u_2)-F(u_1)|=|\int_{u_1}^{u_2}f(x)dx|<\epsilon∣F(u2​)−F(u1​)∣=∣∫u1​u2​​f(x)dx∣<ϵ.
2. 非负函数无穷积分的收敛判别法：比较原则.
3. 一般无穷积分收敛的判别法：
   狄利克雷判别法：f(x)f(x)f(x)的定积分有界，g(x)g(x)g(x)当趋于+∞+ \infty+∞时单调趋于零，则f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)的无穷积分收敛.
   阿贝尔判别法：f(x)f(x)f(x)的无穷积分收敛，g(x)g(x)g(x)当趋于+∞+ \infty+∞时单调有界，则f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)的无穷积分收敛.

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