线性方程组

线性方程组解的个数

1. 如果齐次线性方程组中方程的个数少于未知量的个数，则它有非零解.
2. 方程个数与未知量个数相等时，有非零解的充分必要条件是，系数行列式的值为0.

线性相关性

1. 如果有数域中的数k1,k2,⋯k_1,k_2,\cdotsk1​,k2​,⋯，使得β=k1α1+k2α2+⋯\beta =k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdotsβ=k1​α1​+k2​α2​+⋯，则称β\betaβ是α1,α2,⋯\alpha_1,\alpha_2,\cdotsα1​,α2​,⋯的线性组合.
2. 零向量是任何向量的线性组合.
3. 果一个向量组1的任意向量都可以由另外一个向量组2线性表出，那么就说向量组1可以由向量组2线性表出，如果两个向量组可以互相线性表出，那么就说两个向量组等价.
4. 1如果有数域中的不全为零的数k1,k2,⋯k_1,k_2,\cdotsk1​,k2​,⋯，使得0=k1α1+k2α2+⋯0 =k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots0=k1​α1​+k2​α2​+⋯，则称α1,α2,⋯\alpha_1,\alpha_2,\cdotsα1​,α2​,⋯线性相关.若只有当kik_iki​全为0时等式成立，那么就称α1,α2,⋯\alpha_1,\alpha_2,\cdotsα1​,α2​,⋯线性无关.
5. α1,α2,⋯\alpha_1,\alpha_2,\cdotsα1​,α2​,⋯线性相关的充分必要条件是齐次方程组有非零解.线性无关的充分必要条件是只有零解.
6. 极大线性无关组：如果这个部分组本身是线性无关的，但是再从原向量组中的其他向量添加一个进去后，所得的部分组都线性相关.极大线性无关组所含向量个数称为向量组的秩.

矩阵的秩

矩阵的行秩=列秩=行列式秩

线性方程组有解判别定理

1. 线性方程组有解的充分必要条件：系数矩阵的秩=增广矩阵的秩
2. 齐次线性方程组有非零解的充分必要条件：系数矩阵的秩小于n

线性方程组解的结构

1. 对于齐次方程组：（1）两个解的和也是方程组的解.（2）一个解的倍数也是方程组的解.
2. 齐次线性方程组的基础解系：一组解，线性无关且原方程组的所有解均能表示成这组解的线性组合.
3. 在齐次线性方程组有非零解时，基础解系中解的个数为n-r.

矩阵

矩阵的计算

矩阵的乘法满足结合律不满足交换律.

矩阵的逆

矩阵可逆的充分必要条件是非退化的.

等价矩阵

1. 矩阵经过一系列初等变换所得到的矩阵均为等价矩阵.(初等变换：互换行、某一行乘非零常数、某一行的k倍加到另外一行)
2. 施行一次初等行变换=左乘初等矩阵，施行一次初等列变换=右乘初等矩阵.
3. 方阵可逆的充要条件为：它能表示为一些初等矩阵的乘积.

正交矩阵

1. 正交矩阵AA′=EAA'=EAA′=E
2. 向量内积(α,β)=0(\alpha,\beta)=0(α,β)=0，则两向量正交.
3. 正交向量组：向量组中任意两个向量都正交而且每个向量都不是零向量.
4. 正交向量组一定线性无关.
5. 可以利用施密特正交化方法将线性无关向量组转化为正交向量组.

矩阵对角化

相似矩阵

1. 相似：如果存在可逆矩阵XXX,使得B=X−1AXB=X^{-1}AXB=X−1AX,那么AAA和BBB相似.
2. 相似矩阵具有相同的行列式的值，并且具有相同的可逆性.

特征值与特征向量

1. 特征值和特征向量：非零列向量α\alphaα使得Aα=λ0αA\alpha=\lambda_0 \alphaAα=λ0​α
2. n阶矩阵A与一个对角矩阵相似的充分必要条件是：AAA有nnn个线性无关的特征向量.
3. 相似矩阵具有相同的特征多项式、相同的特征值.
4. Hamilton-Caylay 定理：设AAA是一个nnn阶矩阵,f(λ)=∣λE−A∣f(\lambda)=|\lambda E-A|f(λ)=∣λE−A∣是AAA的特征多项式，那么f(A)=0f(A)=0f(A)=0.

矩阵可对角化条件

1. 属于不同特征值的特征向量一定线性无关.
2. nnn阶方阵AAA可对角化的充要条件是：对AAA的每个特征值λi\lambda_iλi​,r(λE−A)=n−λi的重数r(\lambda E-A)=n-\lambda_i\text{的重数}r(λE−A)=n−λi​的重数，换言之，属于λi\lambda_iλi​的线性无关的特征向量的最多个数为λi\lambda_iλi​的重数.
3. 如果nnn矩阵有nnn个不同的特征值，那么矩阵可以化为对角矩阵.
4. 如果复系数矩阵AAA的特征多项式没有重根，那么AAA可以化为对角形.
5. 每个nnn阶复系数矩阵AAA都与一个若尔当形矩阵矩阵相似.这个若而当形矩除去若而当块的排列次序外，是被矩阵AAA唯一确定的，它被称为AAA的若而当标准形.

实对称矩阵的对角化

1. 实对称矩阵的特征多项式的根都是实数.
2. 设AAA是一个nnn阶实对称矩阵，那么可以找到nnn阶正交矩阵TTT，使得T−1ATT^{-1}ATT−1AT为对角矩阵.
3. 实对称矩阵的不同特征值的特征向量是正交的.

二次型

二次型及其矩阵表示

1. 线性变换X=CYX=CYX=CY,如果矩阵CCC是非退化的，那么线性变换就是非退化的.
2. 合同：对于数域FFF上的nnn阶矩阵AAA和BBB，如果有FFF上的nnn阶可逆矩阵使得B=C′ACB=C'ACB=C′AC，那么AAA和BBB是合同的.
3. 任意一个实二次型都可以经过正交变换化成标准形，系数为特征多项式的全部特征根.
4. 数域 FFF上任意一个二次型都可以经过非退化的线性变换化成平方和的形式.
5. 任一个对称矩阵都合同于一个对角矩阵.
6. 任一个复数的对称矩阵都合同于一个对角矩阵[1,1,⋯,0,0,⋯][1,1,\cdots,0,0,\cdots][1,1,⋯,0,0,⋯]；
7. 任一个实数的对称矩阵都合同于一个对角矩阵[1,⋯,−1,⋯,0,⋯][1,\cdots,-1,\cdots,0,\cdots][1,⋯,−1,⋯,0,⋯]，其中，正平方项的系数为正惯性指数，复平方项的个数为负惯性指数，之差为符号差.
8. 两个同阶的实对称矩阵合同的充分必要条件是，他们的秩和正惯性指数分别相等.

正定二次型

1. 正定二次型：实二次型f(x1,x2,⋯,xn)f(x_1,x_2,\cdots,x_n)f(x1​,x2​,⋯,xn​)对于任意一组不全为零的实数c1,c2,⋯,cnc_1,c_2,\cdots,c_nc1​,c2​,⋯,cn​都有f(c1,c2,⋯,cn)>0f(c_1,c_2,\cdots,c_n)>0f(c1​,c2​,⋯,cn​)>0.其规范型为单位矩阵.
2. 正定二次型的充分必要条件：(1)正惯性指数为nnn.(2)与单位矩阵合同.(3)特征值全大于0.(4)顺序主子式全大于0.
3. 正定矩阵的行列式大于0.

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