最小二乘法求直线的理解

最近看一些文档发现，关于采用最小二乘法拟合直线，很多文章习惯性的将矩阵空间拓展成多维的空间，阅读理解起来都有很大的不便性，本人在图像处理实际应用中，都是二维空间的，故只做了二维空间内的理解，个人理解如下：

(1)所求的直线方程可以理解如下： Y = aX + b；
假设有已知的n个样本（Xi， Yi）；根据（Xi， Yi），求直线方程的系数：a、b
(2)假设求出了(a,b);在验证的时候，需要将样本代入拟合的方程，对于每个变量，都会有对应的误差值(Ei);对于每个样本，都可以写成如下形式：
Yi = aXi + b + ei; 条件:Q = min{ ∑ei²}，
当Q满足时，可以保证整体的样本失真误差最小，虽然有个别的样本的误差值会偏大，我觉得可以在验证阶段可以排除；得到的解（a,b）为最优解.
故求（a,b）最优解，就是求函数：Q = ∑（a*Xi + b -Yi）² 的最小值;
由于 Q(a,b) 为凸函数，当Q对于 a,b 方向上的偏导为 0时，求得的解为最优解；
Q在a,b 方向上的偏导、和结果如下图

根据图中所示，（Xi， Yi）都是已知量，故可求出 a、b
于是所拟合的直线就求出来了。
（3）验证阶段
在实际的采样计算中，由于个别样本并不在直线上;比如我们实际应用中，先是求出可能是边上的点的坐标，然后根据这些点拟合直线；故初次求得直线系数后，需要对样本进行置信度判断，故在实际的拟合直线过程中，需要设定置信区间，便于求出直线方程后，找到在置信区间内的样本，进行优化，得到（a’, b’）;
那么，在AOI中，可否，根据所求直线，找到满足一定梯度的边缘点，根据这些点的误差，来判断是否有缺陷呢？个人觉得可以尝试研究研究。后续补充自己愚见。

(4)相关代码的实现就不写了。

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