一般方程与参数方程求直线交点

一、一个例子：

如上图，有两条直线，设L1，L2。L1上有两点(0, 0)、(10,10)，L2上有两点(0,10)、(10,0)，它们的交点是（5,5）。求解交点有两种效率较高的常用方法，一般方程法与参数方程法，以下将分别描述其原理及实现。

二、一般方程法：

直线的一般方程为F(x) = ax + by + c = 0。既然我们已经知道直线的两个点，假设为(x0,y0), (x1, y1)，那么可以得到a = y0 – y1, b = x1 – x0, c = x0y1 – x1y0。

因此我们可以将两条直线分别表示为

F0(x) = a0*x + b0*y + c0 = 0, F1(x) = a1*x + b1*y + c1 = 0

那么两条直线的交点应该满足

a0*x + b0*y +c0 = a1*x + b1*y + c1

由此可推出

x = (b0*c1 – b1*c0)/D

y = (a1*c0 – a0*c1)/D

D = a0*b1 – a1*b0， (D为0时，表示两直线重合)

源代码：

1 #include < iostream >
2 using namespace std;
3
4 typedef struct
5 {
6      int x, y;
7 } Point;
8 int main()
9 {
10      // 一般方程法
11     Point line1[ 2 ], line2[ 2 ];
12      int a[ 2 ], b[ 2 ], c[ 2 ], x, y, D;
13     cout << " Frist Line(x0 y0 x1 y1): " ;
14     cin >> line1[ 0 ].x >> line1[ 0 ].y >> line1[ 1 ].x >> line1[ 1 ].y;
15     cout << " Second Line(x0 y0 x1 y1): " ;
16     cin >> line2[ 0 ].x >> line2[ 0 ].y >> line2[ 1 ].x >> line2[ 1 ].y;
17
18     a[ 0 ] = line1[ 0 ].y - line1[ 1 ].y;b[ 0 ] = line1[ 1 ].x - line1[ 0 ].x;
19     c[ 0 ] = line1[ 0 ].x * line1[ 1 ].y - line1[ 1 ].x * line1[ 0 ].y;
20     a[ 1 ] = line2[ 0 ].y - line2[ 1 ].y;b[ 1 ] = line2[ 1 ].x - line2[ 0 ].x;
21     c[ 1 ] = line2[ 0 ].x * line2[ 1 ].y - line2[ 1 ].x * line2[ 0 ].y;
22     D = a[ 0 ] * b[ 1 ] - a[ 1 ] * b[ 0 ];
23      if (D != 0 )
24     {
25         x = (b[ 0 ] * c[ 1 ] - b[ 1 ] * c[ 0 ]) / D; y = (a[ 1 ] * c[ 0 ] - a[ 0 ] * c[ 1 ]) / D;
26         cout << " 一般方程求解的交点: " << x << " , " << y << endl;
27     }
28      else
29     {
30         cout << " 两直线重合 " << endl;
31     }
32      return 0 ;
33 }
34

三、参数方程法：

设直线上的两个点为A0(x0, y0), B0(x1, y1)，那么线段可用向量

= –=(x1 – x0, y1 – y0)

表示，的方向即为直线上的方向，那么直线上的任意点便可表示为

s0(t0) = + t0 *

同理，另一条直线（A1(x2, y2), B1(x3, y3)为其上两个点）可类似表示为

s1(t1) = + t1 *

因此，满足两条直线的交点必满足以下条件：

+ t0 * = + t1 *

可求出

t0 = (x0(y3 – y2) + x2(y0 – y3) + x3(y2 – y0))/D

t1 = -(x0(y2 – y1) + x1(y0 – y2) + x2(y1 – y0))/D

D = x0(y3 – y2) + x1(y2 – y3) + x3(y1 – y0) + x2(y0 – y1)，（D为0时，表示两直线重合）

则交点为：

x = x0 + t0 * (x1 – x0); y = y0 + t0 * (y1 – y0);

或

x = x2 + t1 * (x3 – x2); y = y2 + t1 * (y3 – y2);

如果将t0,t1限定在[0,1]内，则变为求线段的求点

源代码：

1 #include < iostream >
2 using namespace std;
3
4 typedef struct
5 {
6      int x, y;
7 } Point;
8 int main()
9 {
10      // 参数方程法
11     Point pt[ 4 ];
12      int t1, t2, dx, dy, D, x, y;
13     cout << " Frist Line(x0 y0 x1 y1): " ;
14     cin >> pt[ 0 ].x >> pt[ 0 ].y >> pt[ 1 ].x >> pt[ 1 ].y;
15     cout << " Second Line(x0 y0 x1 y1): " ;
16     cin >> pt[ 2 ].x >> pt[ 2 ].y >> pt[ 3 ].x >> pt[ 3 ].y;
17     t1 = pt[ 0 ].x * (pt[ 3 ].y - pt[ 2 ].y) + pt[ 2 ].x * (pt[ 0 ].y - pt[ 3 ].y) + pt[ 3 ].x * (pt[ 2 ].y - pt[ 0 ].y);
18     t2 = - (pt[ 0 ].x * (pt[ 2 ].y - pt[ 1 ].y) + pt[ 1 ].x * (pt[ 0 ].y - pt[ 2 ].y) + pt[ 2 ].x * (pt[ 1 ].y - pt[ 0 ].y));
19     D = pt[ 0 ].x * (pt[ 3 ].y - pt[ 2 ].y) + pt[ 1 ].x * (pt[ 2 ].y - pt[ 3 ].y) + pt[ 3 ].x * (pt[ 1 ].y - pt[ 0 ].y) + pt[ 2 ].x * (pt[ 0 ].y - pt[ 1 ].y);
20      if (D != 0 )
21     {
22         dx = pt[ 1 ].x - pt[ 0 ].x; dy = pt[ 1 ].y - pt[ 0 ].y;
23         x = pt[ 0 ].x + t1 * dx / D; y = pt[ 0 ].y + t1 * dy / D;
24         cout << " 参数法求交点: " << x << " , " << y <<   endl;
25     }
26      else
27     {
28         cout << " 两直线重合 " << endl;
29     }
30      return 0 ;
31 }
32

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