算法笔记：使用A*算法解决八数码问题

coursera上普林斯顿大学算法课中第四周的作业，使用A*算法解决八数码问题。

作业的具体要求如下：https://coursera.cs.princeton.edu/algs4/assignments/8puzzle/specification.php

我提交的作业（90分）：https://github.com/caozixuan/AlgorithmLearning/tree/master/Exercise/8Puzzle/src

题目要求

八数码问题是一个十分经典的问题，我相信大家小时候肯定都玩过这个游戏。在这个问题中，我们需要设计一个算法，能够快速的找到通向答案的路径。把所有的标签放在应该放置的位子上（题目并不一定是九宫格）。

辅助知识

优先权队列

优先权队列的知识具体可见我的这篇博文算法笔记：优先权队列

在本次作业中，我们利用优先权队列去储存每一个状态节点极其对应的权值。

A*搜索算法

提到搜索算法，我们首先要明白，搜索算法是干什么的？比较简单的说，搜索算法就像导航软件，是帮助我们找路的。当你站在街上茫然四顾，你就需要你的导航软件，告诉你，前面的几条路，你应该走哪一条。搜索算法也是如此，告诉你应该做什么决策，进入什么状态。

回想一下，我们之前学过哪些搜索算法，比如BFS,DFS，这两种算法告诉你基于宽度优先或者深度优先的原则进行搜索，A*算法要相对复杂一些，它是根据一个评估函数来进行决策的。在评估过程中，我们不断通过将与当前状态相邻的节点加入队列，每次取出评估函数最小的点，继续加入其相邻节点，直到找到其目标为止。下图展示了上述的过程：

下面我们来聊一聊这个评估函数。在A*算法中，这个评估函数被分成了两部分，我们目前已经付出的代价G和我们预计从当前点到目标点还要付出的代价H。已经付出的代价在这个问题中，我们可以认为G = the number of moves，走了一步G就是几，对于H，原链接中给了两种方案，一个是目前有几个数码块还不在它应该在的位置上，另一个是所有数码块与其应该在的位置的曼哈顿距离的和。

需要注意的地方

排除冗余状态

这个地方在原链接中讲的很清楚，大家可以思考一下，什么情况下会出现将相同的状态加入队列的情况。

无解的情况

这个地方困扰了我好久，资料中说到了一个定理，一个有界的状态随意交换两个数码，一定会变成无解的状态。无解的状态，随意交换两个数码，也就一定会变成有解的状态。我们要怎么根据这个定理去判断当前的状态可不可解呢？这个地方的难点是A*算法也没有给你一个范围，告诉你某个规模的问题在多少步内可以求解。后来发现其实很简单，在求解某个问题前，把这个问题变成两个问题，一个是旧问题，一个就是把旧问题中任意两个数码交换。两个问题同时求解。旧问题先得到答案，说明这个问题有解，如果新问题得到答案，就说明旧问题无解。KO!

关键代码

public Solver(Board initial){GameTreeNode root = new GameTreeNode(initial, null);GameTreeNode rootTwin = new GameTreeNode(initial.twin(),null);MinPQ<GameTreeNode> q = new MinPQ<>();MinPQ<GameTreeNode> qTwin = new MinPQ<>();q.insert(root);qTwin.insert(rootTwin);while(true){GameTreeNode curNode = q.delMin();if(curNode.board.isGoal()){canSolve = true;solveNode = curNode;break;}else{for(Board b:curNode.board.neighbors()){if (curNode.father == null || !b.equals(curNode.father.board)) {GameTreeNode node = new GameTreeNode(b, curNode);q.insert(node);}}}GameTreeNode curNodeTwin = qTwin.delMin();if(curNodeTwin.board.isGoal()){canSolve = false;solveNode = null;break;}else{for(Board b:curNodeTwin.board.neighbors()){if(curNodeTwin.father==null||!b.equals(curNodeTwin.father.board)){GameTreeNode node = new GameTreeNode(b,curNodeTwin);qTwin.insert(node);}}}}}